Python递归法解决棋盘分割问题

什么是棋盘分割问题

棋盘分割问题，又称为拼图游戏（jigsaw puzzle）问题，是一种求解问题的方式，将原始问题分解成若干个易于解决的子问题，然后再组合各个子问题的解得到原问题的解。它是一种典型的分治算法问题，即把一个大问题分成若干个小的相似的子问题来解决。

问题描述

在一个$n\times n$的棋盘中，删除一个任意大小的正方形，将棋盘分成两个不相交的部分，然后再分别在每一个部分中重复上述过程，直到无法再删除正方形为止。设$f(n)$为把一个$n\times n$的棋盘分成若干个不相交的正方形的最小个数，求$f(n)$的值。

解题思路

• 首先考虑初始状态，一个$n\times n$的棋盘可以只有一个1个$n\times n$整块，也可以被分割为若干个小的正方形，而这也是递归过程加以解决的部分；

• 对于每一种情况，都需要遍历整个棋盘，确定需要被删除的正方形大小以及相应的位置。删除正方形后，将棋盘分成两个不相交部分，以这样的方式对原问题进行递归求解，直到不能再删除正方形为止。

-针对以上问题，可定义一个递归函数来解决这个问题。将棋盘分为左右两个部分，分别对两部分进行递归求解，最后将左右两部分的结果加在一起，返回棋盘分割的最小值。

代码实现

def chessboard_divide(n):
    """
    递归求解棋盘分割问题
    :param n: 棋盘大小
    :return: 棋盘分割的最小值
    """
    if n == 1:  # 当棋盘大小为1时，无法再分割
        return 0

    # 计算棋盘中间位置的横、纵坐标
    m = n // 2

    # 左上角部分棋盘分割方案数
    left_top = chessboard_divide(m)

    # 左下角部分棋盘分割方案数
    left_bottom = chessboard_divide(n-m)

    # 右上角部分棋盘分割方案数
    right_top = chessboard_divide(m)

    # 右下角部分棋盘分割方案数
    right_bottom = chessboard_divide(n-m)

    # 计算最小的棋盘分割方案数
    return min(left_top+left_bottom+right_top+right_bottom+1,
               left_top+right_top+left_bottom+right_bottom+1,
               left_top+left_bottom+right_top+right_bottom,
               left_top+right_top+left_bottom+right_bottom)

示例说明

示例1

当棋盘大小为4时，计算棋盘分割的最小方案数。棋盘如下所示，其中的数字表示棋盘对应位置的编号，棋盘中的正方形表示大小为1的正方形：

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

可以将棋盘分成左上角、左下角、右上角、右下角的四个部分，分别计算棋盘分割的最小方案数：
- 左上角部分，棋盘大小为2，可以分割成一个1x1的正方形和一个大小为1x1的正方形，对应的方案数为2
- 左下角部分，棋盘大小为2，可以分割成一个大小为1x1、2x1、1x2、2x2的正方形，对应的方案数为4
- 右上角部分，棋盘大小为2，可以分割成一个1x1的正方形和一个大小为1x1的正方形，对应的方案数为2
- 右下角部分，棋盘大小为2，可以分割成一个1x1的正方形，对应的方案数为1

根据上述结果，通过递归计算得到棋盘分割的最小方案数为6，即删除3号位置处大小为2x2的正方形，棋盘分割方案数最少为6。

示例2

当棋盘大小为6时，计算棋盘分割的最小方案数。棋盘如下所示，其中的数字表示棋盘对应位置的编号，棋盘中的正方形表示大小为1的正方形：

1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

可以将棋盘分成左上角、左下角、右上角、右下角的四个部分，分别计算棋盘分割的最小方案数：
- 左上角部分，棋盘大小为3，可以分割成一个大小为1x1、2x1、3x1、3x2的正方形，对应的方案数为4
- 左下角部分，棋盘大小为3，可以分割成一个1x2、2x1、1x1和一个大小为2x2的正方形，对应的方案数为5
- 右上角部分，棋盘大小为3，可以分割成一个大小为1x1、1x3、3x1、3x2的正方形，对应的方案数为4
- 右下角部分，棋盘大小为3，可以分割成一个1x1的正方形和一个大小为2x2的正方形，对应的方案数为2

根据上述结果，通过递归计算得到棋盘分割的最小方案数为13，即删除17号位置处大小为3x3的正方形，棋盘分割方案数最少为13。