序列卷积：线性、周期和圆周

线性卷积

　　线性卷积公式为$y(n)=x_1(n) \ast x_2(n)= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_1(m)x_2(n-m) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_2(m)x_1(n-m)$。

　　卷积的过程可以理解为其中一个序列关于Y轴翻褶，然后不断移位，同时与另外一个序列进行相乘。

 

周期卷积

　　周期为N的卷积公式为$\tilde{y}(n)=\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x_1}(m) \tilde{x_2}(n-m)$。
　　首先，两个输入都是周期为N的序列，卷积的方法与线性卷积类似，只是相乘时有效部分为m=0到N-1，即只在m=0到N-1上进行卷积。
　　N=10的周期卷积如下 ，可以看到卷积结果也是一个周期为N的序列。而且，$x_1(n)$的有效长度$N_1=2$，$x_2(n)$的有效长度$N_2=5$，而周期$N>N_1+N_2-1$，所以$\tilde{y}(n)$的主值序列与线性卷积结果是相同的。

　　

　　N=5的周期卷积如下，此时$N<N_1+N_2-1$，可以认为序列发生了首位交叠，导致输出与线性卷积结果不同。   

 

圆周卷积

　　N点的圆周卷积公式为$y(n)=\sum_{m=0}^{\infty} x_1(m) x_2((n-m))_NR_N(n)$。

　　卷积的过程：先是对两个输入序列进行补0，使得其长度为N；然后在对其中一个序列进行周期延拓，之后跟周期卷积一样进行移位相乘即可。

　　N=10点的圆周卷积如下。同样$N>N_1+N_2-1$，故卷积结果和线性卷积相同。

　　

　　N=5点的圆周卷积如下。结果序列首尾各有一点交叠（线性卷积结果的最后一点叠加到了最开始的一点上），其长度为N点。   

　　

　　以上结果表明，圆周卷积结果实际上就是周期卷积的主值序列。