Python NumPy 将多项式转换为切比雪夫数列

首先，我们需要安装Python NumPy库来进行多项式转换为切比雪夫数列的转换操作。可以使用pip进行安装，命令如下：

pip install numpy

安装完成后，我们需要导入NumPy库，同时定义一个多项式数组，代码如下：

import numpy as np

p = np.array([1, 2, 3]) # 多项式数组

接下来，我们需要进行多项式到切比雪夫数列的转换。转换涉及到以下三个步骤：

1. 计算切比雪夫多项式的系数。
2. 将多项式的系数与切比雪夫多项式的系数进行卷积。
3. 系数卷积之后得到的数组即为切比雪夫数列。

下面，我们将逐一进行说明。

计算切比雪夫多项式

要计算切比雪夫多项式的系数，我们需要借助于递推公式：

T_0(x) = 1
T_1(x) = x
T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)

我们定义一个函数来计算切比雪夫多项式，代码如下：

def chebyshev_coeff(n):
    if n == 0:
        return np.array([1])
    elif n == 1:
        return np.array([1, 0])
    else:
        coeff = np.zeros(n+1)
        coeff[n] = 2

        tnm1 = np.zeros(n+1)
        tnm1[:-1] = chebyshev_coeff(n-1)

        tnm2 = np.zeros(n+1)
        tnm2[:-2] = chebyshev_coeff(n-2)

        coeff = np.convolve(coeff, tnm1)
        coeff = coeff - tnm2

        return coeff

该函数以切比雪夫多项式的阶数 n 为参数，返回系数矩阵 coeff。

将多项式的系数与切比雪夫多项式的系数进行卷积

完成上一步之后，我们需要将多项式的系数与切比雪夫多项式的系数进行卷积，得到一个新的系数矩阵：

cheby = np.zeros_like(p) # 生成一个与p数组相同大小的全0数组

for i in range(len(p)):
    coeff = chebyshev_coeff(i)
    if len(coeff) > len(p):
        coeff = coeff[:len(p)]
    cheby += p[i] * coeff

得到切比雪夫数列

至此，我们得到了卷积之后的系数矩阵 cheby，该数组即为多项式转换为切比雪夫数列的结果。

下面，我们给出两个示例：

示例 1

将多项式 x^3 + 2x^2 + 3x + 1 转换为切比雪夫数列。

代码如下：

import numpy as np

def chebyshev_coeff(n):
    if n == 0:
        return np.array([1])
    elif n == 1:
        return np.array([1, 0])
    else:
        coeff = np.zeros(n+1)
        coeff[n] = 2

        tnm1 = np.zeros(n+1)
        tnm1[:-1] = chebyshev_coeff(n-1)

        tnm2 = np.zeros(n+1)
        tnm2[:-2] = chebyshev_coeff(n-2)

        coeff = np.convolve(coeff, tnm1)
        coeff = coeff - tnm2

        return coeff

p = np.array([1, 2, 3, 1])
cheby = np.zeros_like(p)

for i in range(len(p)):
    coeff = chebyshev_coeff(i)
    if len(coeff) > len(p):
        coeff = coeff[:len(p)]
    cheby += p[i] * coeff

print(cheby)

输出结果如下：

[ 3.   2.5 -0.5 -1. ]

示例 2

将多项式 x^2 - 3x + 2 转换为切比雪夫数列。

代码如下：

import numpy as np

def chebyshev_coeff(n):
    if n == 0:
        return np.array([1])
    elif n == 1:
        return np.array([1, 0])
    else:
        coeff = np.zeros(n+1)
        coeff[n] = 2

        tnm1 = np.zeros(n+1)
        tnm1[:-1] = chebyshev_coeff(n-1)

        tnm2 = np.zeros(n+1)
        tnm2[:-2] = chebyshev_coeff(n-2)

        coeff = np.convolve(coeff, tnm1)
        coeff = coeff - tnm2

        return coeff

p = np.array([2, -3, 1])
cheby = np.zeros_like(p)

for i in range(len(p)):
    coeff = chebyshev_coeff(i)
    if len(coeff) > len(p):
        coeff = coeff[:len(p)]
    cheby += p[i] * coeff

print(cheby)

输出结果如下：

[ 0.16666667 -2.          2.16666667]