通俗易懂的C++前缀和与差分算法图文示例详解

前言

前缀和与差分算法，是在算法中常用的技巧。在许多数据处理问题，通过利用前缀和和差分的方法，可以大大简化问题的复杂度和难度。因此，掌握这两种算法，是每一个学习算法的人必备的基本技能。

本篇文章将详细讲解前缀和与差分算法的基本原理与实现方法，通过简单易懂的图文示例，帮助读者更深入地理解算法的奥妙所在，并提供C++语言实现的示例代码。

前缀和算法

前缀和算法（Prefix Sum），简单来说，就是将一个序列中某个区间的值的总和预处理出来，以便后续使用。具体来说，对于一个数组a，我们可以先求出前缀和数组s，其中s[i]表示前i个元素的和，即

s[i] = a[1]+a[2]+...+a[i]

通过预处理前缀和，对于每个区间的查询，可以在O(1)的时间复杂度内完成，而不需要进行暴力方法的O(n^2)的枚举。

下面通过一个示例，进一步理解前缀和算法的实现流程：

示例一

假设有一个长度为n的数组a，需要支持区间查询操作。具体来说，我们需要计算出数组a[i]到a[j]之间的数的和。我们可以使用前缀和数组s来实现这一操作。

首先初始化前缀和数组s[0]=0。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    s[i] = s[i-1] + a[i];
}

这个式子的意思就是用前i-1个元素的和，加上第i个元素，就得到了前i个元素的和。

接着，计算区间和时，只需要将前缀和数组s的第i个元素减去前缀和数组s的第j-1个元素即可，即

sum[i,j] = s[j] - s[i-1]

代码实现如下：

int sum(int i,int j)
{
    return s[j]-s[i-1];
}

示例二

还有一种较为特殊的情况，在区间查询中只需要查询单个位置，这种情况下，查询左端点为i，右端点为i的区间和。此时可以使用差分数组来实现。

差分算法

差分算法（Difference），简单来说，就是将一个数组的相邻元素之差预处理出来，适用于区间修改和单点查询场景。具体来说，对于一个数组a，我们可以先求出差分数组d，其中d[i]表示a[i]-a[i-1]的值，即

d[i] = a[i] - a[i-1]

通过预处理差分数组，对于每个更改区间的操作，可以在O(1)的时间复杂度内完成，而不需要进行暴力方法的O(n)的枚举。

下面通过一个示例，进一步理解差分算法的实现流程：

示例三

假设有一个长度为n的数组a，需要支持单点查询和区间修改操作。具体来说，我们需要查询某个位置i的数，并将某个区间[a,b]加上x的值。我们可以使用差分数组d来实现这些操作。

使用前缀和和差分算法时，需要注意两个注意点：

1. 对于前缀和而言，需要初始化s[0]=0；
2. 对于差分数组而言，需要在进行某个区间的修改时，对差分数组中的a[b+1]进行x的加；

代码实现如下：

// 单点查询
int query(int i)
{
    return a[i]+d[i];
}

// 区间修改
void add(int a,int b,int x)
{
    d[a]+=x;
    d[b+1]-=x;
}

// 初始化差分数组
void init()
{
    d[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        d[i] = a[i] - a[i-1];
    }
}

示例四

差分算法和前缀和算法可以结合使用。对于一个区间查询操作，只需要先使用差分算法将原数组a转化为差分数组d，然后再将差分数组d转化为前缀和数组s，就可以方便地实现区间查询操作。

总结

本篇文章从基本原理出发，通过精选的图文示例，详细讲解了前缀和与差分算法的基本概念和实现方法，希望读者可以通过本文，更好地理解和掌握这两种算法。

最后，附上C++语言实现的示例代码，方便读者进行参考和练习。