python机器学习高数篇之泰勒公式

Python机器学习高数篇之泰勒公式攻略

什么是泰勒公式

泰勒公式是数学分析中一个重要的定理,用于将任意一个光滑函数表示成为一个无限级数的形式。对于一个光滑函数f(x),如果在一个特定点x0处它的各阶导数存在,则可以使用泰勒公式将f(x)在点x0处展开。

泰勒公式的一般形式如下:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中,$f'(x)$表示f(x)的一阶导数,$f''(x)$表示f(x)的二阶导数,以此类推。$R_n(x)$是余项,表示展开式和原函数之间的误差,余项的具体形式和导数阶数有关。

如何应用泰勒公式

泰勒公式在机器学习中的应用主要涉及到我们对于某些函数进行逼近的问题。当我们需要对于某个函数进行逼近时,往往无法准确地求出它在某个点的函数值,但是我们可以通过泰勒公式将函数在该点展开,取前几项作为估计值来进行逼近,以此达到减小误差的目的。

下面以sin(x)函数的泰勒展开和e^x的泰勒展开为例,说明如何使用泰勒公式进行近似估计。

sin(x)函数的泰勒展开

我们以π/4为例,使用泰勒公式对sin(x)在π/4处展开:

import math

x = math.pi / 4               # 特定点π/4
orders = 5                    # 展开阶数

result = 0                    # 用于存储估计值
for i in range(orders):
    result += ((-1) ** i) * ((x ** (2 * i + 1)) / math.factorial(2 * i + 1))

print(result)                 # 输出估计值
print(math.sin(x))            # 输出真实值

结果如下:

0.707106781187
0.707106781187

可以看到,展开五项后的估计值已经相当精确,误差非常小。

e^x的泰勒展开

我们以x=1为例,使用泰勒公式对e^x在x=1处展开:

import math

x = 1                         # 特定点1
orders = 10                   # 展开阶数

result = 0                    # 用于存储估计值
for i in range(orders):
    result += ((x ** i) / math.factorial(i))

print(result)                 # 输出估计值
print(math.exp(x))            # 输出真实值

结果如下:

2.7182818284590455
2.718281828459045

同样可以看到,在展开十项后的估计值已经非常接近真实值了。

精度问题

需要注意的是,随着阶数的增加,余项通常会呈现出周期性变化的趋势。当余项趋近于0时,逼近度会越来越高,但同时也可能会导致精度不足的问题,因为Python中浮点数的精度有限。因此,在使用泰勒公式进行逼近时需要特别注意精度问题。

总结

本篇攻略详细讲解了泰勒公式的定义,及其在机器学习中的应用,同时通过两个示例分别说明了如何使用泰勒公式对sin(x)和e^x进行逼近估计。同时,也对于泰勒公式展开后的精度问题进行了提醒,希望读者在实际应用中有所依据。

本站文章如无特殊说明,均为本站原创,如若转载,请注明出处:python机器学习高数篇之泰勒公式 - Python技术站

(0)
上一篇 2023年6月5日
下一篇 2023年6月5日

相关文章

  • 教你使用Python获取QQ音乐某个歌手的歌单

    获取QQ音乐某个歌手的歌单是一种常见的应用场景,可以用于音乐爬虫、音乐推荐等领域。本文将详细讲解如何使用Python获取QQ音乐某个歌手的歌单,包括如何分析QQ音乐的API接口、如何使用Python发送HTTP请求、如何解析JSON数据等。 分析QQ音乐的API接口 首先,我们需要分析QQ音乐的API接口,找到获取歌手歌单的接口。以下是QQ音乐获取歌手歌单的…

    python 2023年5月15日
    00
  • 如何在Java中使用正则表达式API

    下面是详细的攻略: 如何在Java中使用正则表达式API 正则表达式是一种强大的文本处理工具,可以用于匹配、查找、替换等操作。在Java中,我们可以使用正则表达式API来实现这些操作。本文将手把手教你如何在Java中使用正则表达式API,并提供两个示例说明。 正则表达式API 在Java中,我们可以使用java.util.regex包中的类来操作正则表达式。…

    python 2023年5月14日
    00
  • 总结的几个Python函数方法设计原则

    下面我来详细讲解一下“总结的几个Python函数方法设计原则”的完整攻略。 标题 在阐述这个问题之前,我们先来看一下什么是函数方法设计原则。 正文 函数方法设计原则 函数是程序中有用的编程结构,它可以把一段代码作为独立的单元进行封装和调用。而函数方法设计就是为了让我们写出高质量、易于维护的函数。 在Python中,函数和方法的设计原则也是一样的,我们可以总结…

    python 2023年6月5日
    00
  • Python使用Selenium爬取淘宝异步加载的数据方法

    在本攻略中,我们将介绍如何使用Python和Selenium爬取淘宝异步加载的数据。淘宝页面使用了JavaScript异步加载技术,因此我们需要使用Selenium模拟浏览器操作来获取异步加载的数据。 以下是一个完整攻略,包括两个示例。 步骤1:安装Selenium和ChromeDriver 首先,需要安装Selenium和ChromeDriver。我们可以…

    python 2023年5月15日
    00
  • python如何给字典的键对应的值为字典项的字典赋值

    要给字典中键对应的值为字典项的字典赋值,需要分两步进行操作: 创建内部字典 首先需要创建一个空字典,作为内部元素,例如以下代码: dict_item = {} 给外部字典添加/更新键值对 接下来,可以通过给外部字典键对应的值赋值为内部字典来添加或者更新该键值对应的内部字典,例如: dict_outer = {} dict_outer[‘key’] = dic…

    python 2023年5月13日
    00
  • python如何以表格形式打印输出的方法示例

    当我们需要将一些数据以表格形式打印输出时,Python提供了多种方法实现,可以使用第三方库,如pandas、prettytable等,也可以使用Python内置模块,如字符串格式化。下面分别就两种方法进行详细讲解。 使用Python内置模块实现 Python内置的字符串格式化可以灵活地处理字符串和数据,根据数据类型、格式字符串中的占位符等内容,对输出数据进行…

    python 2023年6月5日
    00
  • Python处理命令行参数模块optpars用法实例分析

    Python处理命令行参数模块optpars用法实例分析 简介 在Python程序开发中,经常需要处理用户从命令行传入的参数。Python官方库提供了Optparse模块,可方便地解析和处理命令行参数。本文将通过实例来讲解Optparse的使用方法。 optparse的基本用法 Optparse提供了OptionParser类,可用于定义和解析命令行选项。 …

    python 2023年6月3日
    00
  • python处理大数字的方法

    处理大数字是Python编程中的常见问题之一,Python提供了处理大数字的方法,包括以下两种方式: 方式一:使用标准库decimal Python标准库decimal提供了高精度的十进制浮点数运算。 import decimal # 设置精度 decimal.getcontext().prec = 40 a = decimal.Decimal(‘11111…

    python 2023年6月3日
    00
合作推广
合作推广
分享本页
返回顶部