python机器学习高数篇之泰勒公式

Python机器学习高数篇之泰勒公式攻略

什么是泰勒公式

泰勒公式是数学分析中一个重要的定理，用于将任意一个光滑函数表示成为一个无限级数的形式。对于一个光滑函数f(x)，如果在一个特定点x0处它的各阶导数存在，则可以使用泰勒公式将f(x)在点x0处展开。

泰勒公式的一般形式如下：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中，$f'(x)$表示f(x)的一阶导数，$f''(x)$表示f(x)的二阶导数，以此类推。$R_n(x)$是余项，表示展开式和原函数之间的误差，余项的具体形式和导数阶数有关。

如何应用泰勒公式

泰勒公式在机器学习中的应用主要涉及到我们对于某些函数进行逼近的问题。当我们需要对于某个函数进行逼近时，往往无法准确地求出它在某个点的函数值，但是我们可以通过泰勒公式将函数在该点展开，取前几项作为估计值来进行逼近，以此达到减小误差的目的。

下面以sin(x)函数的泰勒展开和e^x的泰勒展开为例，说明如何使用泰勒公式进行近似估计。

sin(x)函数的泰勒展开

我们以π/4为例，使用泰勒公式对sin(x)在π/4处展开：

import math

x = math.pi / 4               # 特定点π/4
orders = 5                    # 展开阶数

result = 0                    # 用于存储估计值
for i in range(orders):
    result += ((-1) ** i) * ((x ** (2 * i + 1)) / math.factorial(2 * i + 1))

print(result)                 # 输出估计值
print(math.sin(x))            # 输出真实值

结果如下：

0.707106781187
0.707106781187

可以看到，展开五项后的估计值已经相当精确，误差非常小。

e^x的泰勒展开

我们以x=1为例，使用泰勒公式对e^x在x=1处展开：

import math

x = 1                         # 特定点1
orders = 10                   # 展开阶数

result = 0                    # 用于存储估计值
for i in range(orders):
    result += ((x ** i) / math.factorial(i))

print(result)                 # 输出估计值
print(math.exp(x))            # 输出真实值

结果如下：

2.7182818284590455
2.718281828459045

同样可以看到，在展开十项后的估计值已经非常接近真实值了。

精度问题

需要注意的是，随着阶数的增加，余项通常会呈现出周期性变化的趋势。当余项趋近于0时，逼近度会越来越高，但同时也可能会导致精度不足的问题，因为Python中浮点数的精度有限。因此，在使用泰勒公式进行逼近时需要特别注意精度问题。

总结

本篇攻略详细讲解了泰勒公式的定义，及其在机器学习中的应用，同时通过两个示例分别说明了如何使用泰勒公式对sin(x)和e^x进行逼近估计。同时，也对于泰勒公式展开后的精度问题进行了提醒，希望读者在实际应用中有所依据。