全排列算法的非递归实现与递归实现的方法(C++)

全排列算法是计算机科学领域中的一个经典问题，其功能是对给定的一组数进行全排列。在本文中，我们将对该算法的非递归实现和递归实现方法进行详细讲解。本文的代码示例基于C++语言。

非递归实现方法

算法思路

假设我们想对n个数进行全排列，那么我们可以首先将这n个数按照升序排列，然后使用以下步骤：

1. 把这n个数的全排列问题转化为n-1个数的全排列问题；

2. 依次取出每一个数作为当前处理的第一个数，然后将剩下的n-1个数进行全排列；

3. 将当前处理的第一个数与所有的n-1个数交换位置，然后将剩下的n-1个数进行全排列。

可以通过循环实现上述算法，具体实现可以参考以下代码：

实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void Swap(vector<int>& nums, int i, int j) {
    int temp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = temp;
}

void Print(vector<int>& nums) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        printf("%d ", nums[i]);
    }
    putchar('\n');
}

void NonRecursivePermute(vector<int>& nums) {
    Print(nums);
    int n = nums.size();
    vector<int> p(n, 0);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        p[i] = i;
    }
    int i = 1;
    while (i < n) {
        if (p[i] < i) {
            if (i % 2 == 1) {
                Swap(nums, 0, i);
            } else {
                Swap(nums, p[i], i);
            }
            Print(nums);
            ++p[i];
            i = 1;
        } else {
            p[i] = 0;
            ++i;
        }
    }
}

int main() {
    vector<int> nums{1,2,3};
    NonRecursivePermute(nums);
    return 0;
}

上述代码是一种非递归实现的全排列算法。对于输入的数组，我们首先输出初始的排列，然后使用一个数组p来记录每个元素应该在哪个位置，如p[i]表示当前第i个元素应该放置在哪个位置。在每次迭代中，我们检查当前的p[i]是否小于i，如果是，则说明i位置还有可交换的元素，我们需要交换它们的位置，并且对交换后的数组再次执行全排列操作；如果p[i]等于i，则说明当前位置已经没有可交换的元素，我们需要将p[i]置为0，继续对下一个位置执行全排列操作。

示例说明

我们以{1,2,3}为例，来说明上述算法的执行过程：

1. 初始排列为{1,2,3}，输出该排列；

2. 交换位置0和位置1的元素，得到排列{2,1,3}，输出该排列；

3. 交换位置1和位置2的元素，得到排列{2,3,1}，输出该排列；

4. 交换位置0和位置1的元素，得到排列{3,2,1}，输出该排列；

5. 交换位置1和位置2的元素，得到排列{3,1,2}，输出该排列；

6. 交换位置0和位置1的元素，得到排列{1,3,2}，输出该排列；

7. 交换位置1和位置2的元素，得到排列{1,2,3}，输出该排列。

递归实现方法

算法思路

利用递归求解全排列问题，我们可以将该问题分解为交换两个位置的元素和后面一段数组进行全排列两步。具体地，我们从数组的第一个位置开始遍历，每次将当前位置的元素与后面的每一个元素进行交换，并将交换后的后面一段数组进行全排列，然后再进行回溯，将元素的位置改回来。

具体实现可以参考以下代码：

实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void Swap(vector<int>& nums, int i, int j) {
    int temp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = temp;
}

void Print(vector<int>& nums) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        printf("%d ", nums[i]);
    }
    putchar('\n');
}

void RecursivePermute(vector<int>& nums, int begin, int end) {
    if (begin == end) {
        Print(nums);
        return;
    }
    for (int i = begin; i <= end; ++i) {
        Swap(nums, begin, i);
        RecursivePermute(nums, begin+1, end);
        Swap(nums, begin, i);
    }
}

int main() {
    vector<int> nums{1,2,3};
    RecursivePermute(nums, 0, nums.size()-1);
    return 0;
}

上述代码是一种递归实现的全排列算法。对于输入的数组，我们从第一个位置开始遍历，将当前位置的元素与后面的每一个元素进行交换，然后对交换后的数组后面一段进行全排列操作，直到到达数组末尾；在最终到达数组末尾之后，我们输出得到的一个排列，然后通过回溯将数组中的元素位置改回来，依次遍历完整个数组。至此，我们完成了基于递归的全排列算法的实现。

示例说明

以{1,2,3}为例，我们来说明基于递归的全排列算法的执行过程：

1. 对于当前要处理的数组{1,2,3}，选取第1个元素1作为第一个位置，与后面的两个元素2,3交换，然后求解{2,3}的全排列，得到{2,3}，然后进行回溯，将交换过的元素位置改回来，即得到{1,2,3}；

2. 对于当前要处理的数组{1,2,3}，选取第2个元素2作为第一个位置，与后面的两个元素1,3交换，然后求解{1,3}的全排列，得到{1,3}，然后进行回溯，将交换过的元素位置改回来，即得到{1,2,3}；

3. 对于当前要处理的数组{1,2,3}，选取第3个元素3作为第一个位置，与后面的两个元素1,2交换，然后求解{1,2}的全排列，得到{1,2}，然后进行回溯，将交换过的元素位置改回来，即得到{1,2,3}；

4. 对于当前要处理的数组{1,2,3}，得到所有的全排列{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,2,1},{3,1,2}。