Description
在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心。
现在他想计算这样一个函数的值:
$$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$
$S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:
$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$。
边界条件为:$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$
你能帮帮他吗?
Input
Output
输出$f(n)$。
由于结果会很大,输出$f(n)$对$998244353(7×17×223+1)$取模的结果即可。
题解:
递推式给你就是玩你的,一点关系都没有!
第二类斯特林数通项公式:
$$S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k C_j^k(j-k)^i$$
代入原式得
$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k C_j^k(j-k)^i\times 2^j\times(j!)$$
组合数展开得
$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i 2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k\frac{j!}{k!(j-k)!}(j-k)^i$$
交换枚举顺序得
$$\sum_{j=0}^n(j!)2^j\sum_{k=0}^n{(-1)^k\over k!}{1\over (j-k)!}\sum_{i=0}^n(j-k)^i$$
看到又有$k$又有$j-k$,这不是卷积吗?
令 $a(x)=\sum_{x=0}^n{(-1)^x\over x!}$
$b(x)={1\over (x)!}\sum_{i=0}^n(x)^i$
则 $f(x)=(x!)2^x\sum_{i=0}^n a(x)b(x-i)$
不过循环边界到n不会越界吗?这对答案没有影响,因为斯特林数和组合数都为0。
那就直接NTT了,刚好给了一个NTT模数。(这莫非是提示?)
CODE:
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define mod 998244353 6 int n,bit=1,rev[400005],ans=0; 7 long long fac[100005],inv[100005],ivf[100005]; 8 long long a[400005],b[400005]; 9 10 int qpow(int x,int y){ 11 int ans=1; 12 while(y){ 13 if(y&1)ans=1LL*ans*x%mod; 14 y>>=1,x=1LL*x*x%mod; 15 } 16 return ans; 17 } 18 19 void init(){ 20 fac[0]=ivf[0]=inv[0]=inv[1]=1; 21 for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 22 for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 23 for(int i=1;i<=n;i++)ivf[i]=ivf[i-1]*inv[i]%mod; 24 a[0]=b[0]=1; 25 for(int i=1,f=-1;i<=n;i++,f=-f){ 26 if (i==1)a[i]=n+1; 27 else a[i]=ivf[i]*(qpow(i,n+1)-1)%mod*inv[i-1]%mod; 28 b[i]=f*ivf[i]%mod; 29 if(a[i]<0)a[i]+=mod; 30 if(b[i]<0)b[i]+=mod; 31 } 32 } 33 34 void get_rev(){ 35 while(bit<=n+n)bit<<=1; 36 for(int i=0;i<bit;i++) 37 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1)*(bit>>1); 38 } 39 40 void NTT(long long a[],int dft){ 41 for(int i=0;i<bit;i++) 42 if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]); 43 for(int i=1;i<bit;i<<=1){ 44 long long W=qpow(3,(mod-1)/i/2); 45 if(dft==-1)W=qpow(W,mod-2); 46 for(int j=0;j<bit;j+=i<<1){ 47 long long w=1; 48 for(int k=j;k<i+j;k++,w=w*W%mod){ 49 long long x=a[k]; 50 long long y=w*a[k+i]%mod; 51 a[k]=(x+y)%mod,a[k+i]=(x+mod-y)%mod; 52 } 53 } 54 } 55 int inv=qpow(bit,mod-2); 56 if(dft==-1)for(int i=0;i<bit;i++)a[i]=a[i]*inv%mod; 57 } 58 59 int main(){ 60 scanf("%d",&n); 61 init(); 62 get_rev(); 63 NTT(a,1),NTT(b,1); 64 for(int i=0;i<bit;i++)(a[i]*=b[i])%=mod; 65 NTT(a,-1); 66 for(int i=0;i<=n;i++){ 67 ans+=qpow(2,i)*fac[i]%mod*a[i]%mod; 68 if(ans>=mod)ans-=mod; 69 } 70 printf("%d",ans); 71 }
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