卷积神经网络算法的一个实现

　　从理解卷积神经到实现它，前后花了一个月时间，现在也还有一些地方没有理解透彻，CNN还是有一定难度的，不是看哪个的博客和一两篇论文就明白了，主要还是靠自己去专研，阅读推荐列表在末尾的参考文献。目前实现的CNN在MINIT数据集上效果还不错，但是还有一些bug，因为最近比较忙，先把之前做的总结一下，以后再继续优化。

　　卷积神经网络CNN是Deep Learning的一个重要算法，在很多应用上表现出卓越的效果，[1]中对比多重算法在文档字符识别的效果，结论是CNN优于其他所有的算法。CNN在手写体识别取得最好的效果，[2]将CNN应用在基于人脸的性别识别，效果也非常不错。前段时间我用BP神经网络对手机拍照图片的数字进行识别，效果还算不错，接近98%，但在汉字识别上表现不佳，于是想试试卷积神经网络。

1、CNN的整体网络结构

　　卷积神经网络是在BP神经网络的改进，与BP类似，都采用了前向传播计算输出值，反向传播调整权重和偏置；CNN与标准的BP最大的不同是：CNN中相邻层之间的神经单元并不是全连接，而是部分连接，也就是某个神经单元的感知区域来自于上层的部分神经单元，而不是像BP那样与所有的神经单元相连接。CNN的有三个重要的思想架构：

• 局部区域感知
• 权重共享
• 空间或时间上的采样

　　局部区域感知能够发现数据的一些局部特征，比如图片上的一个角，一段弧，这些基本特征是构成动物视觉的基础[3]；而BP中，所有的像素点是一堆混乱的点，相互之间的关系没有被挖掘。

　　CNN中每一层的由多个map组成，每个map由多个神经单元组成，同一个map的所有神经单元共用一个卷积核（即权重），卷积核往往代表一个特征，比如某个卷积和代表一段弧，那么把这个卷积核在整个图片上滚一下，卷积值较大的区域就很有可能是一段弧。注意卷积核其实就是权重，我们并不需要单独去计算一个卷积，而是一个固定大小的权重矩阵去图像上匹配时，这个操作与卷积类似，因此我们称为卷积神经网络，实际上，BP也可以看做一种特殊的卷积神经网络，只是这个卷积核就是某层的所有权重，即感知区域是整个图像。权重共享策略减少了需要训练的参数，使得训练出来的模型的泛华能力更强。

　　采样的目的主要是混淆特征的具体位置，因为某个特征找出来后，它的具体位置已经不重要了，我们只需要这个特征与其他的相对位置，比如一个“8”，当我们得到了上面一个"o"时，我们不需要知道它在图像的具体位置，只需要知道它下面又是一个“o”我们就可以知道是一个'8'了，因为图片中"8"在图片中偏左或者偏右都不影响我们认识它，这种混淆具体位置的策略能对变形和扭曲的图片进行识别。

　　CNN的这三个特点是其对输入数据在空间（主要针对图像数据）上和时间（主要针对时间序列数据，参考TDNN）上的扭曲有很强的鲁棒性。CNN一般采用卷积层与采样层交替设置，即一层卷积层接一层采样层，采样层后接一层卷积...这样卷积层提取出特征，再进行组合形成更抽象的特征，最后形成对图片对象的描述特征，CNN后面还可以跟全连接层，全连接层跟BP一样。下面是一个卷积神经网络的示例：

图1（图片来源）

　　卷积神经网络的基本思想是这样，但具体实现有多重版本，我参考了matlab的Deep Learning的工具箱DeepLearnToolbox，这里实现的CNN与其他最大的差别是采样层没有权重和偏置，仅仅只对卷积层进行一个采样过程，这个工具箱的测试数据集是MINIST，每张图像是28*28大小，它实现的是下面这样一个CNN：

图2

2、网络初始化

　　CNN的初始化主要是初始化卷积层和输出层的卷积核（权重）和偏置，DeepLearnToolbox里面对卷积核和权重进行随机初始化，而对偏置进行全0初始化。

3、前向传输计算

　　前向计算时，输入层、卷积层、采样层、输出层的计算方式不相同。

　　3.1 输入层：输入层没有输入值，只有一个输出向量，这个向量的大小就是图片的大小，即一个28*28矩阵;

　　3.2 卷积层：卷积层的输入要么来源于输入层，要么来源于采样层，如上图红色部分。卷积层的每一个map都有一个大小相同的卷积核，Toolbox里面是5*5的卷积核。下面是一个示例，为了简单起见，卷积核大小为2*2，上一层的特征map大小为4*4，用这个卷积在图片上滚一遍，得到一个一个(4-2+1)*（4-2+1）=3*3的特征map，卷积核每次移动一步，因此。在Toolbox的实现中，卷积层的一个map与上层的所有map都关联，如上图的S2和C3，即C3共有6*12个卷积核，卷积层的每一个特征map是不同的卷积核在前一层所有map上作卷积并将对应元素累加后加一个偏置，再求sigmod得到的。还有需要注意的是，卷积层的map个数是在网络初始化指定的，而卷积层的map的大小是由卷积核和上一层输入map的大小决定的，假设上一层的map大小是n*n、卷积核的大小是k*k，则该层的map大小是(n-k+1)*(n-k+1)，比如上图的24*24的map大小24=（28-5+1）。 斯坦福的深度学习教程更加详细的介绍了卷积特征提取的计算过程。                                                                        

　　图3

　　3.3 采样层（subsampling,Pooling）：采样层是对上一层map的一个采样处理，这里的采样方式是对上一层map的相邻小区域进行聚合统计，区域大小为scale*scale，有些实现是取小区域的最大值，而ToolBox里面的实现是采用2*2小区域的均值。注意，卷积的计算窗口是有重叠的，而采用的计算窗口没有重叠，ToolBox里面计算采样也是用卷积(conv2(A,K,'valid'))来实现的，卷积核是2*2，每个元素都是1/4，去掉计算得到的卷积结果中有重叠的部分，即：                                                                

图4

4、反向传输调整权重

　　反向传输过程是CNN最复杂的地方，虽然从宏观上来看基本思想跟BP一样，都是通过最小化残差来调整权重和偏置，但CNN的网络结构并不像BP那样单一，对不同的结构处理方式不一样，而且因为权重共享，使得计算残差变得很困难，很多论文[1][5]和文章[4]都进行了详细的讲述，但我发现还是有一些细节没有讲明白，特别是采样层的残差计算，我会在这里详细讲述。

　　4.1输出层的残差

　　和BP一样，CNN的输出层的残差与中间层的残差计算方式不同，输出层的残差是输出值与类标值得误差值，而中间各层的残差来源于下一层的残差的加权和。输出层的残差计算如下：

公式来源

　　这个公式不做解释，可以查看公式来源，看斯坦福的深度学习教程的解释。

　　4.2 下一层为采样层（subsampling）的卷积层的残差

　　当一个卷积层L的下一层(L+1)为采样层，并假设我们已经计算得到了采样层的残差，现在计算该卷积层的残差。从最上面的网络结构图我们知道，采样层（L+1）的map大小是卷积层L的1/（scale*scale），ToolBox里面，scale取2，但这两层的map个数是一样的，卷积层L的某个map中的4个单元与L+1层对应map的一个单元关联，可以对采样层的残差与一个scale*scale的全1矩阵进行克罗内克积进行扩充，使得采样层的残差的维度与上一层的输出map的维度一致，Toolbox的代码如下，其中d表示残差，a表示输出值：

net.layers{l}.d{j} = net.layers{l}.a{j} .* (1 - net.layers{l}.a{j}) .* expand(net.layers{l + 1}.d{j}, [net.layers{l + 1}.scale net.layers{l + 1}.scale 1])

　　扩展过程：

图5

　　利用卷积计算卷积层的残差：

图6

　　4.3 下一层为卷积层（subsampling）的采样层的残差

　　当某个采样层L的下一层是卷积层(L+1)，并假设我们已经计算出L+1层的残差，现在计算L层的残差。采样层到卷积层直接的连接是有权重和偏置参数的，因此不像卷积层到采样层那样简单。现再假设L层第j个map Mj与L+1层的M2j关联，按照BP的原理，L层的残差Dj是L+1层残差D2j的加权和，但是这里的困难在于，我们很难理清M2j的那些单元通过哪些权重与Mj的哪些单元关联，Toolbox里面还是采用卷积（稍作变形）巧妙的解决了这个问题，其代码为：

convn(net.layers{l + 1}.d{j}, rot180(net.layers{l + 1}.k{i}{j}), 'full');

rot180表示对矩阵进行180度旋转（可通过行对称交换和列对称交换完成），为什么这里要对卷积核进行旋转，答案是：通过这个旋转，'full'模式下得卷积的正好抓住了前向传输计算上层map单元与卷积和及当期层map的关联关系，需要注意的是matlab的内置函数convn在计算卷积前，会对卷积核进行一次旋转，因此我们之前的所有卷积的计算都对卷积核进行了旋转：

a =
     1     1     1
     1     1     1
     1     1     1
k =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> convn(a,k,'full')
ans =

     1     3     6     5     3
     5    12    21    16     9
    12    27    45    33    18
    11    24    39    28    15
     7    15    24    17     9

 　　convn在计算前还会对待卷积矩阵进行0扩展，如果卷积核为k*k，待卷积矩阵为n*n，需要以n*n原矩阵为中心扩展到(n+2(k-1))*(n+2(k-1))，所有上面convn(a,k,'full')的计算过程如下：

图7

实际上convn内部是否旋转对网络训练没有影响，只要内部保持一致（即都要么旋转，要么都不旋转），所有我的卷积实现里面没有对卷积核旋转。如果在convn计算前，先对卷积核旋转180度，然后convn内部又对其旋转180度，相当于卷积核没有变。

　　为了描述清楚对卷积核旋转180与卷积层的残差的卷积所关联的权重与单元，正是前向计算所关联的权重与单元，我们选一个稍微大一点的卷积核，即假设卷积层采用用3*3的卷积核，其上一层采样层的输出map的大小是5*5，那么前向传输由采样层得到卷积层的过程如下：

图8

　　这里我们采用自己实现的convn（即内部不会对卷积核旋转），并假定上面的矩阵A、B下标都从1开始，那么有：

B11 = A11*K11 + A12*K12 + A13*K13 + A21*K21 + A22*K22 + A23*K23 + A31*K31 + A32*K32 + A33*K33
B12 = A12*K11 + A13*K12 + A14*K13 + A22*K21 + A23*K22 + A24*K23 + A32*K31 + A33*K32 + A34*K33
B13 = A13*K11 + A14*K12 + A15*K13 + A23*K21 + A24*K22 + A25*K23 + A33*K31 + A34*K32 + A35*K33
B21 = A21*K11 + A22*K12 + A23*K13 + A31*K21 + A32*K22 + A33*K23 + A41*K31 + A42*K32 + A43*K33
B22 = A22*K11 + A23*K12 + A24*K13 + A32*K21 + A33*K22 + A34*K23 + A42*K31 + A43*K32 + A44*K33
B23 = A23*K11 + A24*K12 + A25*K13 + A33*K21 + A34*K22 + A35*K23 + A43*K31 + A44*K32 + A45*K33
B31 = A31*K11 + A32*K12 + A33*K13 + A41*K21 + A42*K22 + A43*K23 + A51*K31 + A52*K32 + A53*K33
B32 = A32*K11 + A33*K12 + A34*K13 + A42*K21 + A43*K22 + A44*K23 + A52*K31 + A53*K32 + A54*K33
B33 = A33*K11 + A34*K12 + A35*K13 + A43*K21 + A44*K22 + A45*K23 + A53*K31 + A54*K32 + A55*K33

　　我们可以得到B矩阵每个单元与哪些卷积核单元和哪些A矩阵的单元之间有关联：

A11 [K11] [B11]
A12 [K12, K11] [B12, B11]
A13 [K13, K12, K11] [B12, B13, B11]
A14 [K13, K12] [B12, B13]
A15 [K13] [B13]
A21 [K21, K11] [B21, B11]
A22 [K22, K21, K12, K11] [B12, B22, B21, B11]
A23 [K23, K22, K21, K13, K12, K11] [B23, B22, B21, B12, B13, B11]
A24 [K23, K22, K13, K12] [B23, B12, B13, B22]
A25 [K23, K13] [B23, B13]
A31 [K31, K21, K11] [B31, B21, B11]
A32 [K32, K31, K22, K21, K12, K11] [B31, B32, B22, B12, B21, B11]
A33 [K33, K32, K31, K23, K22, K21, K13, K12, K11] [B23, B22, B21, B31, B12, B13, B11, B33, B32]
A34 [K33, K32, K23, K22, K13, K12] [B23, B22, B32, B33, B12, B13]
A35 [K33, K23, K13] [B23, B13, B33]
A41 [K31, K21] [B31, B21]
A42 [K32, K31, K22, K21] [B32, B22, B21, B31]
A43 [K33, K32, K31, K23, K22, K21] [B31, B23, B22, B32, B33, B21]
A44 [K33, K32, K23, K22] [B23, B22, B32, B33]
A45 [K33, K23] [B23, B33]
A51 [K31] [B31]
A52 [K32, K31] [B31, B32]
A53 [K33, K32, K31] [B31, B32, B33]
A54 [K33, K32] [B32, B33]
A55 [K33] [B33]

　　然后再用matlab的convn(内部会对卷积核进行180度旋转)进行一次convn(B,K,'full')，结合图7，看红色部分，除去0，A11=B'33*K'33=B11*K11，发现A11正好与K11、B11关联对不对；我们再看一个A24=B'34*K'21+B'35*K'22+B'44*K'31+B'45*K'32=B12*K23+B13*K22+B22*K13+B23*K12，发现参与A24计算的卷积核单元与B矩阵单元，正好是前向计算时关联的单元，所以我们可以通过旋转卷积核后进行卷积而得到采样层的残差。

　　残差计算出来后，剩下的就是用更新权重和偏置，这和BP是一样的，因此不再细究，有问题欢迎交流。

5、代码实现

　　详细的代码不再这里贴了，我依旧放在了github，欢迎参考和指正。我又是在重造车轮了，没有使用任何第三方的库类，这里贴一下调用代码：

    public static void runCnn() {
        //创建一个卷积神经网络
        LayerBuilder builder = new LayerBuilder();
        builder.addLayer(Layer.buildInputLayer(new Size(28, 28)));
        builder.addLayer(Layer.buildConvLayer(6, new Size(5, 5)));
        builder.addLayer(Layer.buildSampLayer(new Size(2, 2)));
        builder.addLayer(Layer.buildConvLayer(12, new Size(5, 5)));
        builder.addLayer(Layer.buildSampLayer(new Size(2, 2)));
        builder.addLayer(Layer.buildOutputLayer(10));
        CNN cnn = new CNN(builder, 50);
        
        //导入数据集
        String fileName = "dataset/train.format";
        Dataset dataset = Dataset.load(fileName, ",", 784);
        cnn.train(dataset, 3);//
        String modelName = "model/model.cnn";
        cnn.saveModel(modelName);        
        dataset.clear();
        dataset = null;
        
        //预测
        // CNN cnn = CNN.loadModel(modelName);    
        Dataset testset = Dataset.load("dataset/test.format", ",", -1);
        cnn.predict(testset, "dataset/test.predict");
    }

6、参考文献

[1].YANN LECUN. Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition.

[2].Shan Sung LIEW. Gender classification: A convolutional neural network approach.

[3] D. H. Hubel and T. N. Wiesel, “Receptive fields, binocular interaction teraction,and functional architecture in the cat’s visual cortex,”

[4] tornadomeet. http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3468450.html.

[5] Jake Bouvrie. Notes on Convolutional Neural Networks.

[6] C++实现的详细介绍. http://www.codeproject.com/Articles/16650/Neural-Network-for-Recognition-of-Handwritten-Digi

[7] matlab DeepLearnToolbox https://github.com/rasmusbergpalm/DeepLearnToolbox