问，卷积有啥用？积分就够痛苦的了，还来一个广义积分，还是两个函数绕在一块儿的积分。其实卷积在某种大大简化了运算。

假设有一个信号（激励） f(t)，输入系统 g(·)，那么它的输出（响应）就是g[f(t)]，这是一个复合函数，在实际运用当中，是相当难以计算的，更头疼的是，一个系统的函数，并不是那么好找的。于是人们开始考虑简化它。

有一种思路是这样的，对于一个LTI系统，并假设是零状态的， 可以从LTI系统的齐次叠加性入手，也就是说，将激励x(t)分解为单位激励。

定义一个单位高度，宽为Δτ，起始于t=0的基本脉冲p(t)，将输入x(t)表示为一系列矩形脉冲之和。那么，一个起始于t=nΔτ的，高度为x(nΔτ)的脉冲，可以表示为  x(nΔτ)p(t-nΔτ)  。现在，x(t)是所有这样的脉冲之和，因此有：

咱是学通信的——卷积的推导    （1）

显然当Δτ趋于0时， x(nΔτ)p(t-nΔτ)这个脉冲的高度将趋向于∞，但他的面积仍保持为x(nΔτ)。这样的性质，我们想到了冲激信号δ(t)。

也就是说：

$x(t)=lim_{Deltatauto 0}sum_tau x(nDeltatau )delta (t-nDeltatau )$    （2）

我们成功地把一个信号分解为单位冲激信号了，成功了一半。现在，我们想，对于单位冲激信号δ(t)，系统将得到单位冲激相应h(t)，那么，对于信号[x(nΔτ)Δτ]δ(t-nΔτ),我们将得到[x(nΔτ)Δτ]h(t-nΔτ)，（注意Δτ是参变量，故x(nΔτ)Δτ只是对冲激信号的线性运算）。那么对于（2）式所示信号，我们将得到响应

$y(t)=lim_{Deltatauto 0}sum_tau x(nDeltatau )h (t-nDeltatau )$    （3）

根据积分的定义，我们将其化为积分的形式：

$y(t)=int_{-infty}^{infty} x(tau)h(t-tau)dtau$

至此，我们找到了卷积公式，

$y(t)=x(t)ast h(t)$

 这就算所寻求的结果。对于任意输入x(t)，只要知道系统h（t），我们就可以确定响应y(t)。也就是说：

系统对于任意输入的相应都可以由单位冲激相应确定，而单位冲激响应又是由系统特征模式构成的。

 很重要的一点就是，整个推导的假设条件：系统是线性时不变的，线性性质允许了叠加定理的应用，而时不变性质使我们能够用h(t-nΔτ)来表示系统的 δ(t-nΔτ)响应。

 

（待续）