二项式反演

以下是“二项式反演”的完整攻略：

二项式反演

二项式反演是一种常用的组合数学技巧，用于求解形如$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(k)$的式子。其中，$\binom{n}{k}$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，$f(k)$是一个关于$k$的函数。

二项反演的公式如下：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(k)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}g(k)$$

其中，$g(k)$是一个关于$k$的函数，满足$f(k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^{k-i}g(i)$。

示例

以下是使用二项式反演求解组合数的示例：

1. 求解$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k$。

根据二项式反演的公式，我们可以得到：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}ksum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}(k-n-1)$$

因此，我们可以使用以下代码来求解：

def binomial_inversion(n):
    res = 0
    for k in range(n+1):
        res += (-1)**k * comb(n, k) * (k - n - 1)
    return res

1. 求解$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k^{2}$。

根据二项式反演的公式，我们可以得到：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k^{2}=\sum_{k=0}^{}(-1)^{k}\binom{n}{k}\left(\binom{k}{1}+2\binom{k}{2}\right)$$

因此，我们可以使用以下代码来求解：

def binomial_inversion(n):
    res = 0
    for k in range(n+1):
        res += (-1)**k * comb(n, k) * (comb, 1) + 2*comb(k, 2))
    return res

通过以上示例，我们可以了解到如何使用二项式反演求解组合数的问题，以及如何使用Python实现二项式反演的公式。