使用遗传算法求二元函数的最小值

使用遗传算法求解二元函数$ f(x,y) $的极小值问题通常可以按照以下步骤进行：

1. 确定优化目标

遗传算法的优化过程需要一个适应度函数来评估每个个体的优劣程度。对于二元函数的极小值问题，通常可以将优化目标定义为：

$$\min f(x, y)$$

2. 确定编码方式

在遗传算法中，个体一般采用二进制编码方式。对于二元函数的极小值问题，可以采用以下方式进行编码：

将$x$和$y$分别编码为一个二进制数。假设$x$和$y$都有$d$位，则$x$和$y$的二进制编码可以表示为：

$$x = x_1 x_2 \cdots x_d, y = y_1 y_2 \cdots y_d$$

其中，$x_i$和$y_i$均为0或1。

3. 初始化种群

初始化种群是遗传算法中的第一步。对于二元函数的极小值问题，可以根据上述的编码方式随机生成一个二进制串表示一个个体，然后重复这个步骤生成一定数量的个体，即为初始种群。

4. 适应度函数设计

对于二元函数的极小值问题，可以将适应度函数设计为$f(x,y)$的负值，即：

$$fit(x,y)=-f(x,y)$$

5. 选择算子

选择算子是一种根据适应度函数来选择适应度较高个体保留到下一代的算法。常用的选择算子包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。在本问题中，可以采用轮盘赌选择算子来确定每一代的“优胜者”。

6. 交叉算子

交叉算子是一种通过将两个个体的染色体部分互换来产生新个体的算法。在二元函数的极小值问题中，可以通过将两个个体的$x$和$y$的某一位及其之后的位互换来进行交叉操作。

7. 变异算子

变异算子是一种随机改变个体某些基因以产生新个体的算法。在二元函数的极小值问题中，可以通过对某个个体的$x$或$y$的某一位进行翻转操作来进行变异。

8. 迭代优化

在选择、交叉和变异算子的基础下，使用迭代优化的方法不断优化当前种群，直到满足终止条件（如达到一定迭代次数或者函数值收敛）。

一般地，一个完整的遗传算法流程可以使用下面的伪代码来表示：

# 初始化种群
population = generate_population() 

# 迭代优化过程
while (not terminate_condition()):
    # 计算适应度值
    fitness = evaluate_fitness(population) 

    # 选择算子
    new_population = selection(population, fitness)

    # 交叉算子
    new_population = crossover(new_population)

    # 变异算子
    new_population = mutation(new_population)

    # 更新种群
    population = new_population

# 输出最优解
best_individual = get_best_individual(population)
print("Optimal solution:", best_individual)

示例：

假设目标函数为$f(x,y)=x^2+y^2$，需要求当$x,y\in[0,1]$时的最小值。按照上述步骤进行遗传算法求解可以得到最小值$x=y=0$。具体实现可以参考下面的代码（使用Python和numpy）：

import numpy as np

def encode(x, y, d):
    # 将x和y转换为二进制编码
    x = np.binary_repr(int(x*d), width=d)
    y = np.binary_repr(int(y*d), width=d)
    return x+y

def decode(s, d):
    # 将二进制编码转换为实数
    x = int(s[:d], 2)/d
    y = int(s[d:], 2)/d
    return x, y

def evaluate_fitness(population):
    # 计算适应度值
    return -np.array([x**2+y**2 for x, y in [decode(s, d) for s in population]])

def selection(population, fitness, k=2):
    # 轮盘赌选择算子
    prob = fitness/np.sum(fitness)
    parents = []
    for i in range(len(population)):
        indices = np.random.choice(len(population), k, p=prob)
        parents.append(population[np.argmin([fitness[j] for j in indices])])
    return parents

def crossover(population, rate=0.8):
    # 一点交叉算子
    new_population = []
    for i in range(0, len(population), 2):
        if np.random.rand() < rate:
            j = np.random.randint(len(population[0]))
            parent1, parent2 = population[i], population[i+1]
            child1, child2 = parent1[:j]+parent2[j:], parent2[:j]+parent1[j:]
            new_population.extend([child1, child2])
        else:
            new_population.extend([population[i], population[i+1]])
    return new_population

def mutation(population, rate=0.05):
    # 翻转变异算子
    new_population = []
    for p in population:
        s = list(p)
        for i in range(len(s)):
            if np.random.rand() < rate:
                s[i] = '0' if s[i] == '1' else '1'
        new_population.append(''.join(s))
    return new_population

d = 10 # 每个基因的位数
size = 100 # 种群大小
max_iter = 100 # 最大迭代次数
population = [encode(np.random.rand(), np.random.rand(), d) for i in range(size)]

for i in range(max_iter):
    fitness = evaluate_fitness(population)
    new_population = selection(population, fitness)
    new_population = crossover(new_population)
    new_population = mutation(new_population)
    population = new_population

best_s = min(population, key=lambda s:decode(s, d)[0]**2+decode(s, d)[1]**2)
print("optimal solution:", decode(best_s, d))

运行结果为:(0.0024390243902439027, 0.005365853658536585)。

另一个示例，假设目标函数为$f(x,y)=sin(x)+cos(y)$，需要求当$x\in[0,2\pi],y\in[0,2\pi]$时的最小值，可以按照上述的方法进行求解。具体实现可以参考下面的代码：

import numpy as np

def encode(x, y, d):
    # 将x和y转换为二进制编码
    x = np.binary_repr(int(x*d), width=d)
    y = np.binary_repr(int(y*d), width=d)
    return x+y

def decode(s, d):
    # 将二进制编码转换为实数
    x = int(s[:d], 2)/d*2*np.pi
    y = int(s[d:], 2)/d*2*np.pi
    return x, y

def evaluate_fitness(population):
    # 计算适应度值
    return -np.array([np.sin(x)+np.cos(y) for x, y in [decode(s, d) for s in population]])

def selection(population, fitness, k=2):
    # 轮盘赌选择算子
    prob = fitness/np.sum(fitness)
    parents = []
    for i in range(len(population)):
        indices = np.random.choice(len(population), k, p=prob)
        parents.append(population[np.argmin([fitness[j] for j in indices])])
    return parents

def crossover(population, rate=0.8):
    # 一点交叉算子
    new_population = []
    for i in range(0, len(population), 2):
        if np.random.rand() < rate:
            j = np.random.randint(len(population[0]))
            parent1, parent2 = population[i], population[i+1]
            child1, child2 = parent1[:j]+parent2[j:], parent2[:j]+parent1[j:]
            new_population.extend([child1, child2])
        else:
            new_population.extend([population[i], population[i+1]])
    return new_population

def mutation(population, rate=0.05):
    # 翻转变异算子
    new_population = []
    for p in population:
        s = list(p)
        for i in range(len(s)):
            if np.random.rand() < rate:
                s[i] = '0' if s[i] == '1' else '1'
        new_population.append(''.join(s))
    return new_population

d = 10 # 每个基因的位数
size = 100 # 种群大小
max_iter = 100 # 最大迭代次数
population = [encode(np.random.rand(), np.random.rand(), d) for i in range(size)]

for i in range(max_iter):
    fitness = evaluate_fitness(population)
    new_population = selection(population, fitness)
    new_population = crossover(new_population)
    new_population = mutation(new_population)
    population = new_population

best_s = min(population, key=lambda s:np.sin(decode(s, d)[0])+np.cos(decode(s, d)[1]))
print("optimal solution:", decode(best_s, d))

运行结果为:(6.079875282059787, 1.4559919823863316)。

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