归并排序时间复杂度过程推导详解

什么是归并排序

归并排序是一种基于分治思想的排序算法，将一个无序的数组划分成若干子数组，对每个子数组进行排序，然后再将排好序的子数组进行合并，最终得到一个完整有序的数组。

归并排序的时间复杂度

归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，其中n表示数组的长度。接下来我们将详细讲解归并排序的时间复杂度推导过程。

假设有一个长度为n的无序数组，为了方便分析，我们将归并排序过程分为两个步骤：

1. 将无序数组拆分成若干个长度为1的有序子数组。
2. 将长度为1的有序子数组逐个合并成长度为2的有序子数组，再将长度为2的有序子数组逐个合并成长度为4的有序子数组，直到最终合并成一个完整有序的数组。

步骤1：拆分子数组

在第一步中，将无序数组拆分成若干个长度为1的有序子数组，拆分的次数为logn。这是因为每次拆分后，数组的长度都减少一半。因此，数组长度为n时，最多可以拆分logn次。

步骤2：合并子数组

在第二步中，将长度为1的有序子数组逐个合并成长度为2的有序子数组，再将长度为2的有序子数组逐个合并成长度为4的有序子数组，直到最终合并成一个完整有序的数组。在每一次合并过程中，需要遍历整个数组一次，因此合并的时间复杂度为O(n)。最终合并成一个完整有序的数组时，需要遍历整个数组logn次，因此合并的时间复杂度为O(nlogn)。

综上所述，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。

示例说明

假设有一个长度为8的无序数组：[6, 2, 4, 8, 5, 7, 1, 3]，则归并排序的过程如下：

1. 将无序数组拆分成长度为1的有序子数组：[6] [2] [4] [8] [5] [7] [1] [3]。
2. 将长度为1的有序子数组逐个合并成长度为2的有序子数组：[2, 6] [4, 8] [5, 7] [1, 3]。
3. 将长度为2的有序子数组逐个合并成长度为4的有序子数组：[2, 4, 6, 8] [1, 3, 5, 7]。
4. 将长度为4的有序子数组合并成一个完整有序的数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。

假设有一个长度为16的无序数组：[5, 1, 3, 6, 8, 2, 7, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]，则归并排序的过程如下：

1. 将无序数组拆分成长度为1的有序子数组：[5] [1] [3] [6] [8] [2] [7] [4] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]。
2. 将长度为1的有序子数组逐个合并成长度为2的有序子数组：[1, 5] [3, 6] [2, 8] [4, 7] [9, 10] [11, 12] [13, 14] [15, 16]。
3. 将长度为2的有序子数组逐个合并成长度为4的有序子数组：[1, 3, 5, 6] [2, 4, 7, 8] [9, 10, 11, 12] [13, 14, 15, 16]。
4. 将长度为4的有序子数组合并成一个完整有序的数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]。

以上两个示例说明，归并排序的时间复杂度始终是O(nlogn)，不受输入数据的影响。