文本预处理，语言模型，循环神经网络

1.文本预处理
文本是一类序列数据，一篇文章可以看作是字符或单词的序列，本节将介绍文本数据的常见预处理步骤，预处理通常包括四个步骤：

1. 读入文本
2. 分词
3. 建立字典，将每个词映射到一个唯一的索引（index）
4. 将文本从词的序列转换为索引的序列，方便输入模型

2语言模型
一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为$T$的词的序列$w_1, w_2, ldots, w_T$，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：

$P(w_1, w_2, ldots, w_T).$

本节我们介绍基于统计的语言模型，主要是$n$元语法（$n$-gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。
假设序列$w_1, w_2, ldots, w_T$中的每个词是依次生成的，我们有

$$

begin{align*}
P(w_1, w_2, ldots, w_T)
&= prod_{t=1}^T P(w_t mid w_1, ldots, w_{t-1})
&= P(w_1)P(w_2 mid w_1) cdots P(w_T mid w_1w_2cdots w_{T-1})
end{align*}

$$

例如，一段含有4个词的文本序列的概率

$P(w_1, w_2, w_3, w_4) = P(w_1) P(w_2 mid w_1) P(w_3 mid w_1, w_2) P(w_4 mid w_1, w_2, w_3).$

语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如，$w_1$的概率可以计算为：

$$

hat P(w_1) = frac{n(w_1)}{n}

$$

其中$n(w_1)$为语料库中以$w_1$作为第一个词的文本的数量，$n$为语料库中文本的总数量。

类似的，给定$w_1$情况下，$w_2$的条件概率可以计算为：

$$

hat P(w_2 mid w_1) = frac{n(w_1, w_2)}{n(w_1)}

$$

其中$n(w_1, w_2)$为语料库中以$w_1$作为第一个词，$w_2$作为第二个词的文本的数量。

n元语法

序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。$n$元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面$n$个词相关，即$n$阶马尔可夫链（Markov chain of order $n$），如果$n=1$，那么有$P(w_3 mid w_1, w_2) = P(w_3 mid w_2)$。基于$n-1$阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为

$P(w_1, w_2, ldots, w_T) = prod_{t=1}^T P(w_t mid w_{t-(n-1)}, ldots, w_{t-1}) .$

以上也叫$n$元语法（$n$-grams），它是基于$n - 1$阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当$n=2$时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：

$$

begin{align*}
P(w_1, w_2, w_3, w_4)
&= P(w_1) P(w_2 mid w_1) P(w_3 mid w_1, w_2) P(w_4 mid w_1, w_2, w_3)
&= P(w_1) P(w_2 mid w_1) P(w_3 mid w_2) P(w_4 mid w_3)
end{align*}

$$

当$n$分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列$w_1, w_2, w_3, w_4$在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为

$$

begin{aligned}
P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2) P(w_3) P(w_4) ,
P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 mid w_1) P(w_3 mid w_2) P(w_4 mid w_3) ,
P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 mid w_1) P(w_3 mid w_1, w_2) P(w_4 mid w_2, w_3) .
end{aligned}

$$

当$n$较小时，$n$元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当$n$较大时，$n$元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
3.循环神经网络
本节介绍循环神经网络，下图展示了如何基于循环神经网络实现语言模型。我们的目的是基于当前的输入与过去的输入序列，预测序列的下一个字符。循环神经网络引入一个隐藏变量$H$，用$H_{t}$表示$H$在时间步$t$的值。$H_{t}$的计算基于$X_{t}$和$H_{t-1}$，可以认为$H_{t}$记录了到当前字符为止的序列信息，利用$H_{t}$对序列的下一个字符进行预测。

循环神经网络的构造

我们先看循环神经网络的具体构造。假设$boldsymbol{X}_t in mathbb{R}^{n times d}$是时间步$t$的小批量输入，$boldsymbol{H}_t in mathbb{R}^{n times h}$是该时间步的隐藏变量，则：

$boldsymbol{H}_t = phi(boldsymbol{X}_t boldsymbol{W}_{xh} + boldsymbol{H}_{t-1} boldsymbol{W}_{hh} + boldsymbol{b}_h).$

其中，$boldsymbol{W}_{xh} in mathbb{R}^{d times h}$，$boldsymbol{W}_{hh} in mathbb{R}^{h times h}$，$boldsymbol{b}_{h} in mathbb{R}^{1 times h}$，$phi$函数是非线性**函数。由于引入了$boldsymbol{H}_{t-1} boldsymbol{W}_{hh}$，$H_{t}$能够捕捉截至当前时间步的序列的历史信息，就像是神经网络当前时间步的状态或记忆一样。由于$H_{t}$的计算基于$H_{t-1}$，上式的计算是循环的，使用循环计算的网络即循环神经网络（recurrent neural network）。

在时间步$t$，输出层的输出为：

$boldsymbol{O}_t = boldsymbol{H}_t boldsymbol{W}_{hq} + boldsymbol{b}_q.$

其中$boldsymbol{W}_{hq} in mathbb{R}^{h times q}$，$boldsymbol{b}_q in mathbb{R}^{1 times q}$。

GRU

RNN存在的问题：梯度较容易出现衰减或爆炸（BPTT）
⻔控循环神经⽹络：捕捉时间序列中时间步距离较⼤的依赖关系
RNN:

$H_{t} = ϕ(X_{t}W_{xh} + H_{t-1}W_{hh} + b_{h})$
GRU:

$R_{t} = σ(X_tW_{xr} + H_{t−1}W_{hr} + b_r)\Z_{t} = σ(X_tW_{xz} + H_{t−1}W_{hz} + b_z)\widetilde{H}_t = tanh(X_tW_{xh} + (R_t ⊙H_{t−1})W_{hh} + b_h)\H_t = Z_t⊙H_{t−1} + (1−Z_t)⊙widetilde{H}_t$
• 重置⻔有助于捕捉时间序列⾥短期的依赖关系；
• 更新⻔有助于捕捉时间序列⾥⻓期的依赖关系。