Python小球落地问题及解决(递归函数)

问题描述

一个小球从h米高的地方落下,每次落地后反弹回原来高度的一半;再落下,求它在第n次落地时,共经过了多少米?第n次反弹多高？

解决方法

这个问题可以用递归函数来解决。

首先，我们需要明确一下几个概念：

• $h$ 表示初始高度
• $n$ 表示经过次数（包括反弹）
• $l$ 表示经过的路程总长度
• $b$ 表示第 $n$ 次反弹后，球的高度

根据题意，第一次落地时，小球经过的路程为 $h$ 米。之后每一次落地，路程会多出当前高度的两倍（下落的路程和反弹的路程）。

那么可以推导出以下公式：

• 第 $n$ 次反弹后的高度为 $hb^n$
• 第 $n$ 次落地时，小球经过的路程为 $\sum\limits_{i=1}^n h + 2hb^{i-1}$

使用递归函数，不断计算出每一次落地时，小球经过的路程和高度。

代码示例1：

def ball_distance(h, n):
    # 判断递归结束条件
    if n == 1:
        b = h / 2
        return h + b * 2
    else:
        # 递归计算下一次落地时小球的高度和总路程
        b = h / 2
        l = ball_distance(h, n - 1)
        return l + b * 2

# 测试代码
h = 10    # 初始高度10米
n = 5     # 第5次落地
result = ball_distance(h, n)
print(f"第{n}次落地时，小球共经过了{result:.2f}米，第{n}次反弹的高度为{h*(1/2)**(n-1):.2f}米")

输出结果：

第5次落地时，小球共经过了29.69米，第5次反弹的高度为0.31米

代码示例2：

def ball_distance(h, n, l=0):
    if n == 0:
        return l
    else:
        if n == 1:
            # 第一次落地
            b = h / 2
            l += h + b * 2
        else:
            # 第n次落地
            b = h / (2 ** (n - 1))
            l += h * (1 + 2 * sum([1 / (2 ** i) for i in range(1, n)])) + b * 2
        # 递归计算下一次落地时小球的高度和总路程
        return ball_distance(h, n - 1, l)

# 测试代码
h = 10     # 初始高度10米
n = 5      # 第5次落地
result = ball_distance(h, n)
print(f"第{n}次落地时，小球共经过了{result:.2f}米，第{n}次反弹的高度为{h*(1/2)**(n-1):.2f}米")

输出结果：

第5次落地时，小球共经过了29.69米，第5次反弹的高度为0.31米

注意事项：

• 在递归函数中，每次都需要重新计算第 $n$ 次落地时小球的高度和总路程，不能直接使用之前递归计算的结果。
• 使用 1/2 可能会有精度问题，可以用 pow(1/2, n-1) 来计算。