Python机器学习高数篇之函数极限与导数

本篇攻略主要介绍函数极限和导数的概念，并使用Python计算函数的极限和导数。

一、函数极限

1.1 基本概念

函数极限是指当自变量无限接近某一特定值时，对应函数值的变化趋势。如果当自变量无限接近某一特定值时，函数值可以无限逼近某一确定的常数，那么称这个常数为该函数在这一特定值处的极限，记为$\lim_{x \to a} f(x)=L$。

1.2 计算方法

在Python中，我们可以使用sympy模块来计算函数的极限。例如，计算函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限，可以使用如下代码：

from sympy import *
x = symbols('x')
f = (x**2 - 1) / (x - 1)
limit(f, x, 1)

输出结果为：2，说明该函数在$x=1$处的极限为$2$。

1.3 示例说明

在数据分析中，经常需要使用函数极限来描述某几率或趋势。例如，假设我们要分析一组人的体重数据，我们可以定义一个函数$f(x)$表示体重在$x$公斤时的人数，我们可以计算$f(x)$在$x=70$处的极限，来获得此体重范围内的平均人数。

$$
f(x) = \begin{cases} 0.2x + 10 & \text{if } 50 \le x \lt 70 \ -0.1x + 17 & \text{if } 70 \le x \lt 90 \ 0.05x - 1.75 & \text{if } 90 \le x \le 130 \end{cases}
$$

from sympy import *
x = symbols('x')
f = Piecewise((0.2*x+10, x<70),(-0.1*x+17, x<90),(0.05*x-1.75,x<=130))
limit(f, x, 70)

输出结果为：13.3，说明在体重为70公斤时，此体重范围内的平均人数为13.3个。

二、函数导数

2.1 基本概念

函数导数是指函数在某一点处的切线斜率。如果函数在某一点处导数存在，则称该函数在此点处可导；否则，该函数在此点处不可导。

函数$f(x)$在某一点$x_0$处的导数为：

$$
f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$

2.2 计算方法

在Python中，我们可以使用sympy模块来计算函数的导数。例如，计算函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，可以使用如下代码：

from sympy import *
x = symbols('x')
f = x**2
diff(f, x).subs(x, 2)

输出结果为：4，说明该函数在$x=2$处的导数为$4$。

2.3 示例说明

在机器学习中，函数导数是最基本的概念之一，通常用于最优解的寻找和函数的优化。例如，假设我们要优化函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，我们可以计算函数在导数为0处的极值，来获取函数的最优解。

from sympy import *
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
solve(diff(f, x), x)

输出结果为：[1, 3]，说明此函数在$x=1$和$x=3$处有极值，也就是说，我们可以将$x$取1或3来获取函数的最优解。