【模式识别与机器学习】——3.9势函数法：一种确定性的非线性分类方法

目的

　　用势函数的概念来确定判别函数和划分类别界面。

基本思想

　　假设要划分属于两种类别ω1和ω2的模式样本，这些样本可看成是分布在n维模式空间中的点xk。

　　把属于ω1的点比拟为某种能源点，在点上，电位达到峰值。

　　随着与该点距离的增大，电位分布迅速减小，即把样本xk附近空间x点上的电位分布，看成是一个势函数K(x, xk)。

　　对于属于ω1的样本集群，其附近空间会形成一个“高地”，这些样本点所处的位置就是“山头”。

　　同理，用电位的几何分布来看待属于ω2的模式样本，在其附近空间就形成“凹地”。

　　只要在两类电位分布之间选择合适的等高线，就可以认为是模式分类的判别函数。

3.9.1 判别函数的产生

　　模式分类的判别函数可由分布在模式空间中的许多样本向量{xk, k=1,2,…且 }的势函数产生。

　　任意一个样本所产生的势函数以K(x, xk)表征，则判别函数d(x)可由势函数序列K(x, x1)， K(x, x2)，…来构成，序列中的这些势函数相应于在训练过程中输入机器的训练模式样本x1，x2，…。

　　在训练状态，模式样本逐个输入分类器，分类器就连续计算相应的势函数，在第k步迭代时的积累位势决定于在该步前所有的单独势函数的累加。

　　以K(x)表示积累位势函数，若加入的训练样本xk+1是错误分类，则积累函数需要修改，若是正确分类，则不变。 

　　从势函数可以看出，积累位势起着判别函数的作用 当xk+1属于ω1时，Kk(xk+1)>0；当xk+1属于ω2时，Kk(xk+1)<0，则积累位势不做任何修改就可用作判别函数。

　　由于一个模式样本的错误分类可造成积累位势在训练时的变化，因此势函数算法提供了确定ω1和ω2两类判别函数的迭代过程。

3.9.2 势函数的选择

选择势函数的条件：一般来说，若两个n维向量x和xk的函数K(x, xk)同时满足下列三个条件，则可作为势函数。

　　（1）K(x, xk)= K(xk, x)，并且当且仅当x=xk时达到最大值；

　　（2）当向量x与xk的距离趋于无穷时，K(x, xk)趋于零；

　　（3）K(x, xk)是光滑函数，且是x与xk之间距离的单调下降函数。

势函数法

实例1：用第一类势函数的算法进行分类

            

               

实例2：用第二类势函数的算法进行分类

 

        

       

讨论

用第二类势函数，当训练样本维数和数目都较高时，需要计算和存储的指数项较多。 正因为势函数由许多新项组成，因此有很强的分类能力。