锯齿波FMCW雷达目标检测原理

2023年4月8日上午3:02 • 目标检测

FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave），即调频的连续波信号。目前在安防、自动驾驶等领域的应用极为广泛。本文从最基本的数学原理出发进行推导，对锯齿波体制FMCW雷达目标检测进行详细说明。

1.信号建模

在许多文献里面，常看到Chirp信号这个说法，下面是一个典型的Chirp信号示意图。可以看到，从时域来看，信号是一个幅值恒定、频率变化的、时间连续的信号；从频域来看，信号的频率与时间呈现线性关系。其中 $B$ 为信号带宽、 $f_0$ 为起始频率、 $S=frac{B}{T_c}$ 为斜率，这是Chirp信号的基本参数。
不失一般性，下文设信号为复信号进行推导。

锯齿波FMCW雷达目标检测原理
从信号时频关系出发，可得信号的频率与时间的关系为 $f =f_0+St$ ,因此其相位为 $varphi=f_0t+frac{1}{2}St^2$ 。不妨设信号为复信号，忽略幅度参数和噪声，设初始相位为 $varphi_0$ ,则雷达发射信号为 $s_t=exp^{j2pi(f_0t+frac{1}{2}St^2+varphi_0)}$
设静止目标据雷达的距离为 $R$ ，电磁波传输速度为 $c$ ，则接收信号的延迟为 $tau=frac{2R}{c}$ 。同样忽略传播过程中的幅度衰减和噪声，可得接收信号的数学表达式为 $s_r=exp^{j2pi[f_0(t-tau)+frac{1}{2}S(t-tau)^2]}$
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2. 接收信号处理

2.1 目标距离检测

接收信号与发射信号混频，得到中频信号(IF Signal)，即 $s_{IF}=e^{j2pi f_{IF}t}$ 由图2可得，中频信号的是一个单频信号(仅针对单个、静止目标)。所以中频信号为 $s_{IF}=e^{j2pi Sfrac{2R}{c}t}$ 对其进行傅里叶变换，找出幅度谱峰值位置，即可得出其频率 $f_{IF}=Sfrac{2R}{c}$ ，从而得出目标的距离为 $R=frac{cf_{IF}}{2S}$
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上述结论可以很自地推广到多目标的情形。即在不同距离处均有一静止目标，这些目标都会对信号进行反射，从而接收机接收到的应是由多个不同延迟的信号的和。对于每一个目标而言，分析思路和方法与前面的单目标情况完全类相同。不难得到，对应于多目标的中频信号是多个单频信号的叠加，从而经过FFT运算之后的幅度谱会得到多个峰值，每个峰值出现的频点位置与该目标与雷达的距离成比例( $R=cf_{IF}/2S$ ). 锯齿波FMCW雷达目标检测原理到此，对目标距离探测的基本推导已经结束。但是引出了一个新的问题，当两目标靠得比较近的时候，雷达是否可以区分处这两个目标呢？这就是下面将要讨论的雷法距离分辨率的问题。

2.2 雷达分辨率

从上文可知，雷达对目标距离的检测最后是通过FFT转变为对中频信号谱峰的定位。那么一个自然的想法是，FFT运算的分辨率将会影响中频信号频谱的分辨，从而影响雷达对目标距离的分辨率。
由数字信号处理知识可得，若信号观察时间为 $T$ ，则FFT运算之后频域的分辨率为 $frac{1}{T}$ 。设两目标相隔 $delta R$ ，此时俩目标分别对应中频信号频率差为 $delta f_{IF}=S deltatau=Sfrac{2delta R}{c}$ 注意到此时的中频信号来源于对单Chirp的采样，观察时间为 $T_c$ ,从而有 $delta f_{IF}=Sfrac{2delta R}{c}>frac{1}{T_c}$ 将 $S=frac{B}{T_c}$ 带入上式，整理后可得 $delta R>frac{c}{2B}$ 可见，雷达对目标距离的分辨率由发射信号的带宽决定，增加带宽，将会得到更好的距离分辨能力，但同时也会增加硬件成本了信号处理的难度。