Python利用神经网络解决非线性回归问题实例详解

1. 神经网络和非线性回归问题

在学习非线性回归问题是，我们往往会用到神经网络。神经网络是一种基于模拟真实神经元结构的，具有自学习能力的数学模型。

在解决非线性回归问题时，传统的线性回归只能拟合线性的数据， 而神经网络可以拟合任意复杂度的数据模型，因此在实际应用中更加广泛。

2. 实例说明1：使用神经网络拟合正弦函数

首先我们来看一个简单的例子。我们将使用神经网络拟合正弦函数，具体步骤如下：

2.1 数据准备

首先，我们需要准备用于拟合正弦函数的数据。这里我们生成100个在0-2π范围内的随机数据，并将其按照正弦函数的形式进行处理。

import numpy as np
np.random.seed(100)
x = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 100)
y = np.sin(x)

2.2 数据可视化

为了更好地理解数据的特点，我们可以将其可视化。使用matplotlib库进行绘图。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(x, y)
plt.show()

从图中可以看出，这100组数据具有明显的正弦函数特征。

2.3 模型构建

使用keras库构建神经网络。我们选用一个拥有两个隐藏层的3层神经网络，每个隐藏层都包含有20个神经元。

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense

# 构建神经网络模型
model = Sequential()
model.add(Dense(units=20, activation='relu', input_dim=1))
model.add(Dense(units=20, activation='relu'))
model.add(Dense(units=1, activation='linear'))

# 编译模型
model.compile(optimizer='adam', loss='mse')

2.4 模型训练

将准备好的数据作为训练数据传入神经网络进行训练。

model.fit(x, y, epochs=200, batch_size=10, verbose=0)

在训练过程中，我们使用MSE，即均方误差作为损失函数。

2.5 模型测试

模型训练完毕后，我们可以使用测试数据进行预测，并将其与原始数据进行比较。

test_x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
test_y = model.predict(test_x)

plt.scatter(x, y)
plt.plot(test_x, test_y, 'r')
plt.show()

从图中可以看出，我们构建的神经网络模型可以很好地拟合正弦函数。

3. 实例说明2：使用神经网络拟合非线性回归问题

接下来，我们再介绍一种更加复杂的非线性回归问题的解决方案。我们将使用神经网络拟合一个具有多个峰值的曲线。

3.1 数据准备

我们使用numpy库中的多项式函数生成30个具有噪声的样本数据。

import numpy as np
np.random.seed(100)
x = np.linspace(-1, 1, 30)
print(x)

y = np.polyval([2, -8, 5], x)
y_noise = y + np.random.normal(0, 0.3, 30)

3.2 数据可视化

为了更好地理解数据的特点，我们可以将其可视化。使用matplotlib库进行绘图。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(x, y_noise)
plt.show()

从图中可以看出，这30组数据具有多个峰值。

3.3 模型构建

使用keras库构建神经网络。我们选用一个拥有两个隐藏层的3层神经网络，每个隐藏层都包含有20个神经元。

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense

# 构建神经网络模型
model = Sequential()
model.add(Dense(units=20, activation='relu', input_dim=1))
model.add(Dense(units=20, activation='relu'))
model.add(Dense(units=1, activation='linear'))

# 编译模型
model.compile(optimizer='adam', loss='mse')

3.4 模型训练

将准备好的数据作为训练数据传入神经网络进行训练。

model.fit(x, y_noise, epochs=200, batch_size=10, verbose=0)

在训练过程中，我们使用MSE，即均方误差作为损失函数。

3.5 模型测试

模型训练完毕后，我们可以使用测试数据进行预测，并将其与原始数据进行比较。

test_x = np.linspace(-1, 1, 100)
test_y = model.predict(test_x)

plt.scatter(x, y_noise)
plt.plot(test_x, test_y, 'r')
plt.show()

从图中可以看出，我们构建的神经网络模型可以很好地拟合具有多峰的非线性回归问题。