Python Numpy中的Kaiser

Kaiser是一种数字信号处理中常用的窗函数，它在时域上具有抗旁瓣能力，因此被广泛地用于滤波器设计和频谱分析。Python中的NumPy库提供了丰富的函数和工具来支持快速的Kaiser窗设计和应用。

Kaiser 窗函数简介

Kaiser窗函数常常被用来设计数字滤波器，它的主要特点是在频域上具有宽带过渡区和优良的波形抗干扰特性，同时具有指定截止频率处盈余峰值的能力。因此，Kaiser窗函数对于需要在过渡区域达到尽可能小的振幅波动的数字滤波器设计非常有效。

Kaiser窗函数的定义式如下：

$
w(n)=
\begin{cases}
I_0 \left( \beta\sqrt{1-\left(\frac{n}{N-1/2}\right)^2} \right) , \qquad 0\leq n \lt N\
0, \qquad \text{otherwise}
\end{cases}
$

其中，$I_0(x)$是零阶修正的Besse函数，$n$是窗口的索引值，$N$是窗口长度，$\beta$是Kaiser窗参数。Kaiser窗参数$\beta$控制了指定阻止带下限的振幅响应所需的停带衰减因子的大小，通常取值在2至8之间。

Python NumPy 库中的 Kaiser函数

NumPy库中提供了kaiser函数来生成指定长度、beta参数和窗口形状的Kaiser窗函数。kaiser函数的定义如下：

numpy.kaiser(M, beta, sym=True)

• M：窗口长度，必须是一个整数。
• beta：Kaiser窗参数，必须是一个非负实数。
• sym：指定是否对称。默认为True表示对称，False表示非对称。

该函数返回一个numpy的ndarray对象，代表了生成的Kaiser窗函数。

两个示例

示例一：使用Kaiser窗设计滤波器

下面是一个使用Kaiser窗设计滤波器的示例，包括了如何生成一个带通滤波器的Kaiser窗函数。

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 设计滤波器
N = 101  # 滤波器长度
fs = 1000    # 采样频率
f1 = 50  # 通带最低频率
f2 = 150 # 通带最高频率
w1 = f1 / (0.5 * fs) # 通带最低频率归一化频率
w2 = f2 / (0.5 * fs) # 通带最高频率归一化频率

taps = signal.firwin(N, [w1, w2], window=('kaiser', 8.0), pass_zero=False)

# 绘制滤波器的频率响应曲线
w, h = signal.freqz(taps)
fig = plt.figure()
plt.semilogx(w / np.pi * fs / 2, 20 * np.log10(abs(h)))
plt.title('Kaiser Window Frequency Response (order = 101)')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Gain')
plt.ylim(-120, 20)
plt.grid()
plt.show()

输出的结果为以下图形：

该示例中调用了firwin函数来设计了一个带通滤波器，在滤波器设计时使用的是Kaiser窗，Kaiser窗参数设为8.0。绘制了滤波器的频率响应曲线。

示例二：使用Kaiser窗构造Doppler信号

下面是一个使用Kaiser窗构造Doppler信号的示例，可以得到一个类似于雷达信号的随时间运动的频谱图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 使用Kaiser窗构造Doppler信号
N = 1024 # 采样点数
T = 1.0 / 8000 # 采样间隔
Fs = 1.0 / T # 采样频率
f_center = 100 # 信号中心频率
beta = 50.0 # Kaiser窗参数

n = np.arange(N)
doppler_sig = np.sin(2 * np.pi * f_center * n * T) * np.kaiser(N, beta)
doppler_sig = np.roll(doppler_sig, -N//2)  # 使用roll移动信号

# 绘制Doppler信号的频谱图
freqs = np.fft.fftfreq(N, T) # 频率轴
spectrum = np.fft.fft(doppler_sig) # 频谱
spectrum = np.fft.fftshift(spectrum) # 将频域信号偏移到中心位置
spectrum = 20*np.log10(np.abs(spectrum)) # 将振幅转换为分贝单位

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(freqs, spectrum)
ax.set_xlim(-5000, 5000)  # 显示中心频率附近的部分
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude (dB)')
plt.title('Doppler Signal Kaiser Window Spectrum')
plt.grid()
plt.show()

输出的结果为以下图形：

该示例中使用Kaiser窗构造了一个Doppler信号，并绘制了该信号的频谱图。从频谱图中可以明显看出，信号的频谱随着时间的变化而变化，类似于雷达信号中的显示效果。