怎样理解傅立叶变换和卷积

2023年4月7日下午9:47 • 卷积神经网络

先看连续和离散系统的公式：

\[F(w)=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)e^{-iwt}dt=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)(\cos wt-i\sin wt)dt \tag{1}
\]

\[F(w)=\sum^{+\infty}_{t=-\infty}f(t)(\cos wt-i\sin wt) \tag{2}
\]

其中利用了欧拉公式：$$e^{iwt}=\cos wt+i \sin wt$$

看最简单的$f(t)=1,-1\leq t\leq 1$，得到

\[F(w)=\int_{-1}^{1}(\cos wt-i\sin wt)dt=\frac{1}{w}[\sin wt+i\cos wt]|_{-1}^{1}=\frac{2}{w}\sin w \tag{3}
\]

也就是说，其频谱为$F(w)=\frac{2}{w}\sin w$，幅度为$|F(w)|=|\frac{2}{w}\sin w|$。

意思就是如下图，原图源自韩昊：

怎样理解傅立叶变换和卷积

还是先是公式：

\[(f*h)(t)=\int^{t}_{-\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau \tag{4}
\]

什么意思呢？其中$h(t)$是系统对单位冲激函数$\delta(t=0)$的响应，该响应将持续对系统的输出做出贡献。如图。

怎样理解傅立叶变换和卷积

在$t=0$时刻，冲激函数的幅值为$f(0)$，那么系统对它的响应就是$f(0)h(t)$，该响应在时刻$t$的值为：

\[s(t)=f(0)h(t)
\]

事实上，在$t$时刻之前的任一时刻$\tau$，系统中均有输入$f(\tau)$，对应的冲激响应为$f(\tau)h(t-\tau)$，那么对$t$时刻之前的所有时刻$\tau$进行积分，得到式$(4)$。如图：

对函数$g$依次做反褶，平移t，计算在不同$t$下，两个函数曲线所围的面积(下图中如果f(0)=2呢，是否还是面积?所以有系数的哈，这个只能确认积分区间)。

怎样理解傅立叶变换和卷积

计算卷积的算法是"不进位乘法"，如下图所示(计算机编程的算法，与上述图解法一样的)：
怎样理解傅立叶变换和卷积

与一维卷积的滑窗类似，二维卷积也用滑窗进行计算。广泛用在图像处理领域。

以下内容转自CSDN博客

算法：对矩阵A,B进行卷积：conv2(A,B)，其中A为图像矩阵，B为卷积核。

在图像处理中，卷积常用于对图像模糊处理，边缘检测，产生轧花效果等。
在深度学习中，卷积在卷积网络中发挥作用。

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