图像处理——卷积原理、二维卷积python实现

一：什么是卷积

离散卷积的数学公式可以表示为如下形式：

f(x) =  - 其中C(k)代表卷积操作数，g(i)代表样本数据, f(x)代表输出结果。

举例如下：

假设g(i)是一个一维的函数，而且代表的样本数为G = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

假设C(k)是一个一维的卷积操作数, 操作数为C=[-1,0,1]

则输出结果f(x)可以表示为 F=[1,2,2,2,2,2,2,2,1]  //边界数据未处理

 

以上只是一维的情况下，当对一幅二维数字图像加以卷积时，其数学意义可以解释如下：

源图像是作为输入源数据，处理以后要的图像是卷积输出结果，卷积操作数作为Filter

在XY两个方向上对源图像的每个像素点实施卷积操作。如图所示：

 

粉红色的方格每次在X/Y前进一个像素方格，就会产生一个新的输出像素，图中深蓝色的代

表要输出的像素方格，走完全部的像素方格，就得到了所有输出像素。

 

图中，粉红色的矩阵表示卷积操作数矩阵，黑色表示源图像– 每个方格代表一个像素点。

 

二：卷积在数字图像处理中应用

一副数字图像可以看作一个二维空间的离散函数可以表示为f(x, y), 假设有对于二维卷积操

作函数C(u, v) ，则会产生输出图像g(x, y) = f(x, y) *C(u,v), 利用卷积可以实现对图像模糊处理，边缘检测，产生轧花效果的图像。

 

一个简单的数字图像卷积处理流程可以如下：

1.      读取源图像像素

2.      应用卷积操作数矩阵产生目标图像

3.      对目标图像进行归一化处理

4.      处理边界像素

三使用模板处理图像相关概念：     

      模板：矩阵方块，其数学含义是一种卷积运算。
      卷积运算：可看作是加权求和的过程，使用到的图像区域中的每个像素分别于卷积核(权矩阵)的每个元素对应相
                乘，所有乘积之和作为区域中心像素的新值。
      卷积核：卷积时使用到的权用一个矩阵表示，该矩阵与使用的图像区域大小相同，其行、列都是奇数，
              是一个权矩阵。
      卷积示例：
              3 * 3 的像素区域R与卷积核G的卷积运算：
              R5(中心像素)=R1G1 + R2G2 + R3G3 + R4G4 + R5G5 + R6G6 + R7G7 + R8G8 + R9G9
            

四使用模板处理图像的问题：
       边界问题：当处理图像边界像素时，卷积核与图像使用区域不能匹配，卷积核的中心与边界像素点对应，
                 卷积运算将出现问题。
       处理办法：
              A． 忽略边界像素，即处理后的图像将丢掉这些像素。
              B． 保留原边界像素，即copy边界像素到处理后的图像。

五.常用模板：

 

六其他

 

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 以下用$符号表示从负无穷大到正无穷大的积分。   
    
  一维卷积：   
  y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)   
  先把函数x(k)相对于原点反折，然后向右移动距离t，然后两个函数相乘再积分，就得到了在t处的输出。对每个t值重复上述过程，就得到了输出曲线。   
    
  二维卷积：   
  h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)   
  先将g(u,v)绕其原点旋转180度，然后平移其原点，u轴上像上平移x，   v轴上像上平移y。然后两个函数相乘积分，得到一个点处的输出。   

在图像中卷积是什么意思呢,就是图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像.模版又称为卷积核.卷积核做一个矩阵的形状。由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。 

 

二维图像卷积运算

import numpy as np
from scipy import signal
from scipy import misc
import matplotlib.pyplot as plt
face=misc.face(gray=True) #创建一个灰度图像
scharr=np.array([[-3-3j,0-10j,+3-3j],
        [-10+0j,0+0j,+10+0j],
         [-3+3j,0+10j,+3+3j]]) #设置一个特殊的卷积和
grad=signal.convolve2d(face,scharr,boundary='symm',mode='same') #把图像的face数组和设计好的卷积和作二维卷积运算,设计边界处理方式为symm
fig,(ax1,ax2)=plt.subplots(1,2,figsize=(10,6)) #建立1行2列的图fig
ax1.imshow(face,cmap='gray') #显示原始的图
<matplotlib.image.AxesImage object at 0x00000000078FC198>
 ax1.set_axis_off() #不显示坐标轴
 ax2.imshow(np.absolute(grad),cmap='gray') #显示卷积后的图
<matplotlib.image.AxesImage object at 0x00000000078FCE48>
 ax2.set_axis_off() #不显示坐标轴
 fig.show() #显示绘制好的画布