多维卷积与一维卷积的统一性（运算篇）

转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_7445c2940102wmrp.html

 

本篇博文本来是想在下一篇博文中顺带提一句的，结果越写越多，那么索性就单独写一篇吧。在此要特别感谢实验室董师兄，正因为他的耐心讲解，才让我理解了卷积运算的统一性（果然学数学的都不是盖的）。

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​所谓卷积，其实是一种数学运算。但是在我们的学习生涯中，往往它都是披上了一层外衣，使得我们经常知其然不知其所以然。比如在信号系统中，他是以一维卷积的形式出现描述系统脉冲响应。又比如在图像处理中，他是以二维卷积的形式出现，可以对图像进行模糊处理。乍一看，两个形式风马牛不相及，但其实他们的本质都是统一的。可见，我们看待事物不仅要看他们的表象，还要从表象中分辨出他们的本质。下面进入正题。

​1.一维卷积​

在这个部分，我们主要从数学的角度看一看卷积，也就是看一下卷积是怎么运算的。这里要说明一下，卷积分为连续卷积和离散卷积。在此为了方便大家理解，在此先以离散卷积举例，本文也就不再专门讨论连续卷积（因为连续卷积和离散卷积的区别也就是连续和离散的区别，找时间我会总结一下连续和离散的异同）。说到数学角度，那首先就要给出卷积运算的公式定义：

一维卷积公式

这个公式中有三个序列（y,h,u），其中h长度为lh=3，u的长度为lu=6。那么就有y的长度ly=lh+lu-1=8（至于为什么后面会说）。如何计算这个卷积呢？我们先将一个序列从小到大排列(U0,U1,U2,U3,U4,U5)在一维直线上，因为公式中U的序号i是从小到大。而将H序列从大到小排列(H2,H1,H0)，因为H的序号是-i。再将两个序列的开头对齐，如下图：

 

 

排列好之后，我们就可以开始进行卷积运算。当位移K=0时，下面H序列不移动，上下两个序列中都存在的项相乘后相加，即y(0)=H0*U0。当位移K=1时，下面H序列移动1位，之后对应项相乘后相加得到y(1)=H1*U0+H0*U1。依此移动，直到取到K的最大值停止。可见，一维卷积就是卷积核H，在被卷积信号U的一维直线上的移动之后的对应项相乘后求和运算。那么K的取值范围时多少呢?从图中我们可以看出当K=8时，H序列和U序列对应项都不存在了，那么K=8也就没有意义。因此的最大长度要使得两个序列至少有1个项重合，即两个序列长度求和再减去重合的一项的长度。

2.多维卷积​​

我们还是先从简单的入手，以二维卷积为例。二维卷积的公式如下：​

 

 此时，三个序列(y,h,u)都是双下标的序列。在一维卷积中，我们将U展开在一维直线上。那么对于二维卷积运算，我们就将U展开在二维平面中，左下角为U(0,0)，右上角为U(5,5)。​同样的，将H也展开在二维平面中，同时要与U的方向相反，左下角为H(2,2)，右上角为H(0,0)。如下图所示：​

 

 

同样，二维卷积中p,q的长度也是由H和U序列长度所决定的，即Lp=Lux+Lhx-1，Lq=Luy+Lhy-1。二维卷积运算就是卷积核H，在被卷积信号U的平面上的对应项相乘后求和运算。那么对于更高维的卷积运算，同样可以按照该方法理解。相信大家读到这里，可以理解不同维卷积的统一性。

特别注意：

1.​卷积后的序号k,q,p其实表示的是两个卷积序列的相对位置关系，也就是与被卷积信号的坐标不相同。

2.卷积的两个信号的坐标既可以是时间坐标也可以是空间的坐标，甚至是时空坐标。只不过，如果是时间坐标，注意坐标不可为负。