详解斐波那契数列

下面是斐波那契数列的详细讲解：

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列指的是这样一个数字序列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以递归的方式定义：$$
F_0=0, F_1=1
$$
$$
F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \space (n≥2)
$$

斐波那契数列的作用？

斐波那契数列在计算机编程中有着广泛的应用。在斐波那契数列中，每个数字都等于前两个数字之和。这种递推的思想被应用在很多场合，例如动态规划、分治算法、字符串匹配等算法中。

如何在编程中使用斐波那契数列？

1. 使用递归函数

使用递归函数可以非常简单地实现斐波那契数列的计算。

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    return fib(n-1) + fib(n-2)

# 测试代码
print(fib(6)) # 输出 8

虽然这个方法可以很容易地实现斐波那契数列的计算，但是它有一个很大的问题，就是当n很大时，递归的深度会非常大，导致计算时间很长，甚至可能导致栈溢出。

2. 使用循环

使用循环可以避免递归函数带来的问题。

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    prev, curr = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        prev, curr = curr, prev + curr
    return curr

# 测试代码
print(fib(6)) # 输出 8

这个方法的时间复杂度是O(n)，在n比较大的时候，也要注意计算时间的问题。

示例说明

示例1：使用斐波那契数列解决青蛙跳楼梯问题

题目描述：

一个小青蛙要跳上n层高的楼梯，每次只能跳上1层或2层，问有多少种不同的方法可以跳到楼梯顶部？

解决方案：

这个问题可以用斐波那契数列来解决。如果小青蛙要跳到第n层楼梯，他可以从n-1层楼梯跳1步，也可以从n-2层楼梯跳2步。因此跳n层楼梯的方案数就是跳到n-1层楼梯的方案数加上跳到n-2层楼梯的方案数。这就是一个斐波那契数列的问题。

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    prev, curr = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        prev, curr = curr, prev + curr
    return curr

# main函数
def main():
    n = 10
    print(fib(n+1))

if __name__ == '__main__':
    main()

输出结果为：<<89>>，表示小青蛙跳到10层楼梯的方案数是89。

示例2：使用斐波那契数列解决变态跳台阶问题

题目描述：

一个小青蛙要跳上n级台阶，每次可以跳1，2，3，...，n级，求小青蛙跳完n级台阶共有多少种跳法。

解决方案：

同样可以用斐波那契数列解决。因为小青蛙可以跳1，2，3，...，n级，所以跳n级台阶的方案数就是跳到n-1级台阶的方案数加上跳到n-2级台阶的方案数，一直加到跳到第1级台阶的方案数，这又是一个斐波那契数列的问题。

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    prev, curr = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        prev, curr = curr, 2*curr  # curr表示跳到当前台阶的方案数，2*curr表示到达当前台阶的方案数
    return curr

# main函数
def main():
    n = 4
    print(fib(n+1))

if __name__ == '__main__':
    main()

输出结果为：<<8>>，表示小青蛙跳到4级台阶的方案数是8。