【模式识别与机器学习】——似然函数

　　在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

　　似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。

概率 用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性 则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

 如：在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作。

利用贝叶斯定理，

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

 

注意到这里并不要求似然函数满足归一性：

一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α > 0，都可以有似然函数：

 

例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是p_H = 0.5，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：

其中H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有p_H 的概率正面朝上，而有1 − p_H 的概率反面朝上。这时，条件概率可以改写成似然函数：

也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，p_H = 0.5 的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时p_H = 0.5 的概率是0.25）。

如果考虑p_H = 0.6，那么似然函数的值也会改变。

注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数p_H 的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设p_H = 0.5时更大。也就是说，参数p_H 取成0.6 要比取成0.5 更有说服力，更为“合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：

， 其中。

如果取p_H = 1，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：

， 其中T表示反面朝上，。

这时候，似然函数的最大值将会在的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面朝上的概率是最合理的。