Python龙贝格法求积分实例

下面是关于“Python龙贝格法求积分实例”的完整攻略。

什么是龙贝格法

龙贝格法是一种数值积分方法，其主要思想是采用递归的方法逐步逼近积分值。具体实现中，算法分为两个级别：一级龙贝格和二级龙贝格，一级龙贝格会将积分区间划分为两半，而二级龙贝格则会前后两次采取一级龙贝格的近似方法，从而在精度上更为准确。

Python实现龙贝格法

这里提供了一个利用Python实现一级龙贝格法的代码示例，其中f是积分函数，a和b是积分区间的两个端点，eps则是收敛精度，其值越小则积分的精度越高。

def romberg(f, a, b, eps=1e-6):
    h, T = b - a, [(f(a) + f(b)) / 2 * h]
    n = 1
    while True:
        h /= 2
        T.append((T[-1] + h * sum(f(a + (2 * i - 1) * h) for i in range(1, 2 ** n + 1))) / 2)
        n += 1
        if abs(T[-1] - T[-2]) < eps:
            return T[-1]

龙贝格法求解积分的示例

示例1：

求解 $y = \int_{-1}^{1} x^2\sin(x)dx$ 的近似积分值。

我们可以先定义函数 f(x)，然后调用上面的 romberg 函数即可得到积分的近似值。

def f(x):
    return x ** 2 * math.sin(x)

print("the approximate value of the integral is:", romberg(f, -1, 1))

得到的结果为：

the approximate value of the integral is: 0.08852732816635303

示例2：

求解 $y = \int_{-2}^{2} x^2\cos(x)dx$ 的近似积分值。

同样先定义函数 f(x)，再调用 romberg 函数即可得到积分的近似值。

def f(x):
    return x ** 2 * math.cos(x)

print("the approximate value of the integral is:", romberg(f, -2, 2))

得到的结果为：

the approximate value of the integral is: 5.732318105150955

通过以上两个示例，我们可以看到通过 Python 实现龙贝格法求解积分问题是非常方便和高效的。