java实现的n*n矩阵求值及求逆矩阵算法示例

1. 求矩阵的值

求n*n矩阵的值，需要使用行列式的计算方法，具体算法如下：

• 当矩阵为1*1时，其值即为该矩阵中的元素。
• 当矩阵为22时，其值为：a[1][1]a[2][2]-a[1][2]*a[2][1]。
• 当矩阵为n*n时，其值为：按矩阵的第一行、第一列、第二行、第二列等开始，按矩阵的行列式展开来求得。

具体来说，可以使用递归算法来求解矩阵的行列式。递归的终止条件是当矩阵为22时，直接应用22行列式的求值公式。

其Java代码实现如下：

public class MatrixUtil {
    /**
     * 计算矩阵的行列式
     *
     * @param matrix 矩阵
     * @return 行列式的值
     */
    public static double determinant(double[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        if (n == 1) {
            return matrix[0][0];
        }
        double det = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double[][] subMatrix = new double[n - 1][n - 1];
            for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
                for (int k = 0; k < n - 1; k++) {
                    subMatrix[j][k] = matrix[j + 1][k < i ? k : k + 1];
                }
            }
            det += ((i % 2 == 0) ? 1 : -1) * matrix[0][i] * determinant(subMatrix);
        }
        return det;
    }
}

上述代码中的determinant方法就是用于计算矩阵的行列式值。其中，subMatrix是原矩阵去掉第一行和第i列后的子矩阵，通过递归调用determinant方法来计算子矩阵的行列式值，得到最终结果。

2. 求矩阵的逆矩阵

对于nn矩阵A，若存在另一个nn矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。对于任意一个n*n矩阵，如果它的行列式不为0，则它存在逆矩阵。

矩阵的逆矩阵的求解方法有多种，这里介绍其中一种常用的方法：高斯-约旦消元法。

高斯-约旦消元法是一种常用于线性方程组求解和矩阵求逆等问题的求解方法。具体思路是：将包含未知数的所有等式写成增广矩阵的形式，然后通过改变增广矩阵的形式，使得增广矩阵成为一个下三角矩阵，或一个上三角矩阵，或者一个对角矩阵。最终得到的矩阵，就是原矩阵的逆矩阵。

具体步骤如下：

1. 构造一个n*2n的增广矩阵M（第一列为原矩阵A，第二列为单位矩阵E）；
2. 通过初等行变换，将矩阵M变为下三角矩阵；
3. 通过初等行变换，将矩阵M变为对角矩阵；
4. 将矩阵M的右侧n*n部分作为结果，即为原矩阵的逆矩阵。

其Java代码实现如下：

public class MatrixUtil {
    /**
     * 计算矩阵的逆矩阵
     *
     * @param matrix 矩阵
     * @return 矩阵的逆矩阵
     */
    public static double[][] inverse(double[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        double[][] inverseMatrix = new double[n][n];
        // 构建增广矩阵
        double[][] augmentedMatrix = new double[n][2 * n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.arraycopy(matrix[i], 0, augmentedMatrix[i], 0, n);
            augmentedMatrix[i][i + n] = 1.0;
        }
        // 高斯-约旦消元变换，将增广矩阵变为下三角矩阵
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                double k = augmentedMatrix[j][i] / augmentedMatrix[i][i];
                for (int l = i; l < 2 * n; l++) {
                    augmentedMatrix[j][l] -= k * augmentedMatrix[i][l];
                }
            }
        }
        // 高斯-约旦消元变换，将增广矩阵变为对角矩阵
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                double k = augmentedMatrix[j][i] / augmentedMatrix[i][i];
                for (int l = 0; l < 2 * n; l++) {
                    augmentedMatrix[j][l] -= k * augmentedMatrix[i][l];
                }
            }
        }
        // 将右侧n*n部分作为结果，即为逆矩阵
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double factor = augmentedMatrix[i][i];
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                inverseMatrix[i][j] = augmentedMatrix[i][j + n] / factor;
            }
        }
        return inverseMatrix;
    }
}

上述代码中的inverse方法就是用于计算矩阵的逆矩阵的。其中，augmentedMatrix是原矩阵与单位矩阵增广后的矩阵，通过高斯-约旦消元法将augmentedMatrix变为对角矩阵，最终得到augmentedMatrix的右侧n*n部分就是原矩阵的逆矩阵。

下面分别举例说明。

例1：求矩阵的值

假设有如下矩阵M：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
2 & 4 \
\end{bmatrix}
$$

求该矩阵的值。

根据矩阵行列式的定义，将该矩阵按第一行展开：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 \
2 & 4 \
\end{vmatrix}
=14-32=-2
$$

因此，矩阵M的值为-2。

例2：求矩阵的逆矩阵

假设有如下矩阵N：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
0 & 1 & 4 \
5 & 6 & 0 \
\end{bmatrix}
$$

求该矩阵的逆矩阵。

根据矩阵逆矩阵的定义，需要先求得矩阵N的行列式值，判断其是否存在逆矩阵。

根据矩阵行列式的定义，将该矩阵按第一行展开：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\
0 & 1 & 4 \
5 & 6 & 0 \
\end{vmatrix}
=1\begin{vmatrix}
1 & 4\
6 & 0 \
\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}
0 & 4 \
5 & 0 \
\end{vmatrix}+3*\begin{vmatrix}
0 & 1 \
5 & 6 \
\end{vmatrix}
=-72
$$

由于矩阵N的行列式值不为0，所以矩阵N存在逆矩阵。接下来可以使用上述代码中的inverse方法求解逆矩阵。对于矩阵N，其逆矩阵如下：

$$
\begin{bmatrix}
-24 & 18 & 5\
20 & -15 & -4 \
-5 & 4 & 1 \
\end{bmatrix}
$$

因此，矩阵N的逆矩阵为上述矩阵。