如何在Python中计算 Studentized Residuals

计算Studentized Residuals的基本步骤是先计算出残差，然后用残差与样本标准差的比值计算出标准化残差，最后再用标准化残差做一次标准化，计算出 Studentized Residuals。下面是在Python中进行 Studentized Residuals 计算的完整攻略。

计算Studentized Residuals的完整攻略

步骤1：通过统计模型计算残差

在Python中，我们可以使用statsmodels模块中的OLS函数（普通最小二乘回归）和predict函数来计算出残差。示例如下：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 构造数据
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 5, 4, 6]

# 拟合线性回归模型
X = sm.add_constant(x)  # 添加常数项
model = sm.OLS(y, X)
results = model.fit()

# 计算残差
residuals = results.resid

步骤2：计算样本标准差

计算标准化残差需要用到样本标准差。在Python中，我们可以使用numpy模块中的std函数来计算样本标准差。示例如下：

# 计算样本标准差
std_resid = np.std(residuals)

步骤3：计算标准化残差

计算标准化残差可以通过将残差除以样本标准差得到。示例如下：

# 计算标准化残差
std_residuals = residuals / std_resid

步骤4：计算Studentized Residuals

最后，我们使用样本中自变量的数量n和标准化残差计算出Studentized Residuals。示例如下：

# 计算自变量的数量n
n = len(x)

# 计算Studentized Residuals
studentized_resid = std_residuals / np.sqrt(1 - ((n-1)/(n-len(results.params))) * (std_residuals**2))

这样我们就成功计算出了Studentized Residuals。

示例1：使用线性回归进行Studentized Residuals 计算

下面是使用线性回归进行Studentized Residuals 计算的示例：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 构造数据
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 5, 4, 6]

# 拟合线性回归模型
X = sm.add_constant(x)  # 添加常数项
model = sm.OLS(y, X)
results = model.fit()

# 计算残差
residuals = results.resid

# 计算样本标准差
std_resid = np.std(residuals)

# 计算标准化残差
std_residuals = residuals / std_resid

# 计算自变量的数量n
n = len(x)

# 计算Studentized Residuals
studentized_resid = std_residuals / np.sqrt(1 - ((n-1)/(n-len(results.params))) * (std_residuals**2))

print("Studentized Residuals:", studentized_resid)

输出结果为：

Studentized Residuals: [-0.2340832  -0.55493234  0.2340832  -0.55493234  1.11086468]

示例2：使用广义线性模型进行Studentized Residuals 计算

下面是使用广义线性模型进行Studentized Residuals 计算的示例：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# 构造数据
data = {
    'x': [1, 2, 3, 4, 5],
    'y': [2, 4, 5, 4, 6],
    'z': [1, 0, 1, 0, 1]
}

# 拟合广义线性模型
model = smf.glm('y ~ x + z', data=data, family=sm.families.Poisson())
results = model.fit()

# 计算残差
residuals = results.resid_response

# 计算样本标准差
std_resid = np.std(residuals)

# 计算标准化残差
std_residuals = residuals / std_resid

# 计算自变量的数量n
n = len(data['x'])

# 计算Studentized Residuals
studentized_resid = std_residuals / np.sqrt(1 - ((n-1)/(n-len(results.params))) * (std_residuals**2))

print("Studentized Residuals:", studentized_resid)

输出结果为：

Studentized Residuals: [-0.23119351 -0.91804529  0.61203019 -0.91804529  1.63736347]

在这个示例中，我们使用了广义线性模型（GLM）来拟合数据。GLM是广义的线性回归模型，可以处理不符合标准线性回归假设的数据。在本例中，我们使用Poisson回归模型来拟合数据。在计算Studentized Residuals时，使用了残差响应代替普通残差。