VAEs最早由“Diederik P. Kingma and Max Welling, “Auto-Encoding Variational Bayes, arXiv (2013)”和“Danilo Jimenez Rezende, Shakir Mohamed, and Daan Wierstra, “Stochastic Backpropagation and Approximate Inference in Deep Generative Models,” arXiv (2014)”同时发现。

原理：

对自编码器来说，它只是将输入数据投影到隐空间中，这些数据在隐空间中的位置是离散的，因此在此空间中进行采样，解码后的输出很可能是毫无意义的。

而对VAEs来说，它将输入数据转换成2个分布，一个是平均值的分布，一个是方差的分布（这就像高斯混合型了），添加上一些噪音，组合后，再进行解码。

如图（网上找的，应该是论文里的，暂时没看论文）

VAEs（变分自编码）之keras实践

 

 为什么分为2个分布？

可以这么理解：假设均值和方差都有n个，那么编码部分相当于用n个高斯分布（每个输入是不同权重的n个分布的组合）去模拟输入。

再通过一系列变换，转化为隐空间的若干维度，其每个维度可能具有某种意义。比如下面代码使用2维隐空间，可以看作是均值和方差维度。

方差部分指数化，保证非负。添加噪音让隐空间更具有意义的连续性。

然后我们从隐空间采样，由于隐空间具有意义上的连续性，那么解码后的东东就可能类似输入。

损失loss如何定义？为什么？

loss由2部分构成，第一部分就是解码输出与原始输入的loss，可以定义为交叉熵或者均方误差等。

第二部分是约束项。如上图黄色框，m平方作为L2正则化项，前2项可以看做方差减去其泰勒展开，当σ趋近0时，方差也即e^σ为1。那么最小化前2项必然使得σ趋近0（求导即可知）。

由此，这第二部分，m平方项约束使得均值为0，前2项约束使得方差为1。这样约束使得隐空间具有连续性，且强制输入数据在隐空间中的表示范围收拢。

这样在隐空间中2个数据表示的中间，就有一种过渡区域。如果仅以第一部分约束，效果可能就和自编码器一样了，模型会过拟合。

 

下面进入代码部分

以MNIST数据集作为训练样本。

from keras import backend as K

from keras.models import Model

from keras.metrics import binary_crossentropy

import numpy as np

from keras.layers import Conv2D,Flatten,Dense,Input,Lambda,Reshape,Conv2DTranspose,Layer

from keras.datasets import mnist

from keras.callbacks import EarlyStopping

编码器使用卷积层，输出2个部分

img_shape=(28,28,1)
batch_size=16
latent_dim=2

input_img=Input(shape=img_shape)
x=Conv2D(32,3,padding='same',activation='relu')(input_img)# 28,28,32
x=Conv2D(64,3,padding='same',activation='relu',strides=(2,2))(x)# 14,14,64
x=Conv2D(64,3,padding='same',activation='relu')(x)#14,14,64
x=Conv2D(64,3,padding='same',activation='relu')(x)#14,14,64
# 保存Flatten之前的shape
shape_before_flattening=K.int_shape(x)
x=Flatten()(x)#14*14*64
x=Dense(32,activation='relu')(x)#32
# 将输入图像拆分为2个向量
z_mean=Dense(latent_dim)(x)#2
z_log_var=Dense(latent_dim)(x)

定义采样方法

def sampling(args):
    z_mean,z_log_var=args
#     得到一个平均值为0，方差为1的正态分布，shape为（？，2）
    epsilon=K.random_normal(shape=(K.shape(z_mean)[0],latent_dim),mean=0,stddev=1.)#K.shape返回仍是tensor
#     tensor*tensor为elementwise操作
    return z_mean+K.exp(z_log_var)*epsilon
z=Lambda(sampling)([z_mean,z_log_var])# 采样

解码

# 解码过程，逆操作
decode_input=Input(K.int_shape(z)[1:])
# np.prod表示对数组某个axis进行乘法操作，如果axis不指定，则将所有的元素乘积返回一个值
x=Dense(np.prod(shape_before_flattening[1:]),activation='relu')(decode_input)#14*14*64
# 逆Flatten操作
x=Reshape(shape_before_flattening[1:])(x)#14,14,64
# 反卷积，strides=2将14*14变为28*28，跟Conv2D相反
x=Conv2DTranspose(32,3,padding='same',activation='relu',strides=2)(x)#28,28,32
# 注意这里的激活函数
x=Conv2D(1,3,padding='same',activation='sigmoid')(x)#28,28,1
# 解码model
decoder=Model(decode_input,x)
# 解码后的图片数据
z_decoded=decoder(z)

定义loss，使用一个自定义layer实现

class CustomVariationalLayer(Layer):
    def vae_loss(self,x,z_decoded):
        x=K.flatten(x)
        z_decoded=K.flatten(z_decoded)
#         loss为原始输入和编码-解码后的输出比较
        xent_loss=binary_crossentropy(x,z_decoded)
#         约束
#         mean部分表示L2正则损失，K.exp(z_log_var)-(1+z_log_var)保证方差为1，如果不约束，网络可能偷懒
        kl_loss=5e-4*K.mean(K.exp(z_log_var)-(1+z_log_var)+K.square(z_mean),axis=-1)
        return K.mean(xent_loss+kl_loss)

    def call(self,inputs):
        x=inputs[0]
        z_decoded=inputs[1]
        loss=self.vae_loss(x,z_decoded)
#         继承方法
        self.add_loss(loss,inputs=inputs)#将根据inputs计算的损失loss加到本layer
        return x #不用，但是需要返回点啥

y=CustomVariationalLayer()([input_img,z_decoded])

加载数据，定义、训练模型

(x_train,y_train),(x_test,y_test)=mnist.load_data()

x_train=x_train.astype('float32')/255.
# 表示添加一个通道维度，通道数为1（颜色只有一种模式）
x_train=x_train.reshape(x_train.shape+(1,))
x_test=x_test.astype('float32')/255.
x_test=x_test.reshape(x_test.shape+(1,))
vae=Model(input_img,y)
# 自定义层y里面已经包含了loss，这里不需要指定
vae.compile(optimizer='rmsprop',loss=None)
# 不需要标签，所以y为None，我们只需要知道一个图片的原始输入是否和编码-解码后的输出一致
vae.fit(x=x_train,y=None,shuffle=True,epochs=10,batch_size=batch_size,validation_data=(x_test,None),callbacks=[EarlyStopping(patience=2)],verbose=2)

测试

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 潜空间中任意矢量可以解码成数字
n = 10
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
# norm.ppf([v1,v2...])表示正态分布积分值为vi时，对应的x轴坐标值xi
grid_x = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))#可以看作均值
grid_y = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))#方差
for i, yi in enumerate(grid_x):
    for j, xi in enumerate(grid_y):
        z_sample = np.array([[xi, yi]])
#         np.tile将数组重复n次，如[1,2]->[1,2,1,2]。然后reshape到输入格式
        z_sample = np.tile(z_sample, batch_size).reshape(batch_size, 2)
        x_decoded = decoder.predict(z_sample, batch_size=batch_size)
#         因为x_decoded为16个相同矢量得到的推导，取第一个就行，再将 28*28*1 reshape到 28*28
        digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
        figure[i * digit_size: (i + 1) * digit_size,
               j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure, cmap='Greys_r')
plt.show()

结果如下，可以看到，图片是连续变化的。

VAEs（变分自编码）之keras实践