图文解析布隆过滤器大小的算法公式

关于图文解析布隆过滤器大小的算法公式的攻略，我们可以分为以下几个部分进行讲解：

1. 什么是布隆过滤器？

布隆过滤器是一种基于概率的快速数据结构，用于检测某个元素是否属于某个集合。它的主要优点是：它的空间效率和查询时间都比一般的算法要好的多，缺点是有一定的误识别率和无法删除元素的限制。

2. 布隆过滤器大小的算法公式

布隆过滤器的大小取决于三个因素：误差率（false positive rate）、处理元素的数量和数据块的大小。

误差率是指布隆过滤器判断某个元素是否在集合中时，由于哈希冲突而误判的概率。误差率越低，布隆过滤器的实用性越好，但同时它的空间需求就会增加。

处理元素的数量是指布隆过滤器需要处理的元素总数。

数据块的大小是指布隆过滤器使用的位数组的长度。数据块越大，误差率越低，但同时空间需求也会增加。

具体的算法公式如下：

m = - (n * ln(p)) / (ln(2)^2)
k = (m / n) * ln(2)

其中，m 表示位数组的大小，n 表示处理元素的数量，p 表示期望的误差率，k 表示哈希函数的数量。ln 表示自然对数。

3. 详细解释算法公式

我们来分别解释一下这两个公式的含义：

(1) m 的计算：

m 表示需要的位数组大小，也就是布隆过滤器需要占用的内存空间大小，是一个整数。

n 表示要插入的元素数量，是一个正整数。

p 表示允许的误差率，是一个小数。

ln 表示自然对数，即以 e 为底的对数，是一个常数。

其中，根据布隆过滤器的原理可知，误差率 p 可以理解为“1 - 确定性”，也就是我们能够非常确信某个元素不在集合中的概率。因此，根据概率计算公式：

p(x) + p(not x) = 1

我们可以得到以下结论：

p(not x) = (1-p(x)) <= p

即某个元素不在集合中的概率小于等于 p。我们再通过公式：

p(not x) = (1 - 1/m) ^ (kn)

来计算出某个元素不在集合中的概率。其中，k 表示哈希函数的数量，n 表示元素数量，m 表示位数组的大小。

将上面的两个公式联立起来，我们可以得到布隆过滤器大小的公式：

m = - (n * ln(p)) / (ln(2)^2)

(2) k 的计算：

k 表示哈希函数数量，即我们需要将要插入的元素通过几次哈希映射映射到位数组上。

根据布隆过滤器的原理可知，当哈希函数的数量为 k 时，误判率为：

(1 - (1 - 1/m) ^ (kn)) ^ k

在保证 p 的前提下，我们希望尽量减小 k 的大小，我们可以来推导出 k 的计算公式：

f(k) = (1 - (1 - 1/m) ^ (kn)) ^ k
ln(f(k)) = k * ln(1 - (1 - 1/m) ^ (kn))
       = k * ln(1/m^n) // (1 - 1/m)^n 大约等于 1/e，ln(1/e) = -1
       = -k * ln(m * p) / ln(2)
f'(k) = (ln(f(k)))' = ln(1/m^n) * (1 - (1-1/m)^kn) ^ k + ln(1- (1-1/m) ^ (kn)) * [(1-(1-1/m)^kn) ^ (k-1) * n * ln(1-1/m)]
                   = (1 - (1 - 1/m) ^ (kn)) ^ k * (-ln(1/m))
                       + (1 - (1 - 1/m) ^ (kn)) ^ (k-1) * n * k * (1 - 1/m) ^ (kn) * ln(1 - 1/m)
                   = (1 - (1 - 1/m) ^ (kn)) ^ (k-1) * (n * ln(1/m) - k * n * (1/ m - 1/m^2) * ln(1-1/m))
f'(k) = 0 时的解为：
k = (m / n) * ln(2)

该公式是在保证 p 的前提下，使得 k 最小的公式，也就是能够满足要求的情况下，希望哈希函数数量尽可能小。

4. 两个实例的解释

（1）实例一

有一个集合，包含 1000 万个 URL，现在希望检查一个 URL 是否在这个集合中，要求误差率小于 0.01%。问位数组应该多大？需要多少个哈希函数？

根据前面的公式：

n = 10000000
p = 0.0001
ln2^2 = 0.4805

m = - (n * ln(p)) / (ln2^2) = - (10000000 * ln(0.0001)) / 0.4805 ≈ 23860940
k = (m / n) * ln(2) ≈ 14

因此，位数组需要 23860940 个 bit，需要 14 个哈希函数。

（2）实例二

有一个集合，包含 1000 万个 IP 地址，现在希望检查一个 IP 是否在这个集合中，要求误差率小于 0.01%。问位数组应该多大？需要多少个哈希函数？

IP 地址通常的情况下是 32 位的，因此位数组需要开辟的空间大约为 122 MB 左右。