UVa 297 Quadtrees(树的递归)

1. 题目背景

本题是UVA的题目，题目编号为297。本题是一个经典的树的递归应用题目，需要考生熟练掌握递归的编程技巧。

2. 题目描述

Quadtrees（四叉树）是一种常见的数据结构，它可以表示二维图像。在本题中，我们需要以字符串的形式给出两个代表二维图像的四叉树，然后将它们合并成一个四叉树，并计算出合并后的四叉树中“黑色”区域的总数。

在这里，“黑色”区域指的是四叉树中以黑色节点为根节点的所有子树的范围面积之和。四叉树中的每个节点可以是黑色或白色，黑色表示该节点所表示的区域是一个黑色矩形，白色表示该节点所表示的区域是一个白色矩形。

3. 题目解析及思路

本题中的四叉树可以通过递归的方式来构建和合并，具体思路如下：

1. 通过将字符串递归分割成4个小段的方式，构建四个节点，其中每个节点的值为0或1。（0表示白色，1表示黑色）

2. 如果一个节点的值为0，则该节点表示的区域就是整个矩形区域；如果一个节点的值为1，则该节点表示的区域就是一个单独的黑色矩形。

3. 如果一个节点是黑色节点，那么它的四个子节点就都是白色节点，因为黑色节点所表示的矩形区域不可能再被分割。

4. 如果一个节点是白色节点，则可以继续递归构建它的4个子节点。

5. 在合并两个四叉树时，按照节点的属性进行合并，具体规则如下：

   • 如果两个节点都是黑色，则合并后的节点也将是黑色。

   • 如果两个节点都是白色，则合并后的节点也将是白色。

   • 如果一个节点是黑色，另一个节点是白色，则以黑色节点为准，并将黑色节点所表示的该矩形区域分成4个小块，递归合并每个小块。

6. 算法结束的条件可以是判断根节点是黑色还是白色，或者是递归深度达到一定程度或者字符串分割不可继续为止。

4. 代码实现

下面给出对该算法的一种可能实现方式：

# 定义TreeNode类表示四叉树中的节点
class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.children = []

# 定义递归合并算法
def merge(q1, q2):
    if q1.val == q2.val:
        node = TreeNode(q1.val)
        for i in range(4):
            node.children.append(merge(q1.children[i], q2.children[i]))
        return node
    elif q1.val == 1:
        return q1
    else:
        return q2

# 将字符串转化为四叉树
def buildTree(s, i):
    if (s[i] == 'p'):
        node = TreeNode(2)
        node.children.append(buildTree(s, i+1))
        node.children.append(buildTree(s, i+1+len(node.children[0].val)))
        node.children.append(buildTree(s, i+1+len(node.children[0].val)+len(node.children[1].val)))
        node.children.append(buildTree(s, i+1+len(node.children[0].val)+len(node.children[1].val)+len(node.children[2].val)))
        return node
    else:
        return TreeNode(int(s[i]))

# 计算四叉树中黑色节点数量和面积
def countTree(node):
    if node.val == 1:
        return 1, 1024
    elif node.val == 0:
        return 0, 0
    else:
        cnt, ans = 0, 0
        for child in node.children:
            tmp_cnt, tmp_ans = countTree(child)
            cnt += tmp_cnt
            ans += tmp_ans
        return cnt, ans

# 主函数输入输出
T = int(input())
for _ in range(T):
    s1, s2 = input(), input()
    q1, q2 = buildTree(s1, 0), buildTree(s2, 0)
    q = merge(q1, q2)
    cnt, ans = countTree(q)
    print("There are %d black pixels." % ans)

5. 总结

本题是一道经典的树的递归应用题目，需要考生熟练掌握递归的编程技巧。该题可以通过构建四叉树和递归合并来解决，需要注意维护好节点的层级和属性。