C语言动态规划之背包问题详解

C语言动态规划之背包问题详解

背包问题概述

背包问题是一个经典的问题，是计算机算法领域中常见的优化问题之一。所谓背包问题，就是给定一组物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的重量和价值，要求在不超过背包容量的前提下，选择一些物品装进背包中，使得装进背包中的物品的总价值最大。

背包问题的本质就是在满足背包容量下，尽可能地利用有限资源进行价值最大化的选择问题。背包问题可以分为0-1背包问题和完全背包问题两种。

0-1背包问题

在0-1背包问题中，每个物品只能选择0个或1个，即不能放置重复的物品。0-1背包问题可以使用动态规划来解决。

以下是0-1背包问题的解题步骤：

1. 定义状态：设dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中所能获得的最大价值。
2. 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
3. 定义初始状态：dp[0][0] = 0
4. 最优解：dp[n][C]

其中，v[i]为第i个物品的重量，w[i]为第i个物品的价值，C为背包的容量。

示例1：假设有4个物品，其重量及价值如下表所示，背包容量为8。则使用动态规划求解0-1背包问题的最大价值为12。

物品编号	重量	价值
1	2	6
2	2	3
3	3	5
4	4	4

根据以上步骤，可以求解动态规划的状态转移方程，得到dp数组如下：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	6	6	6	6	6	6	6
2	0	0	6	6	9	9	9	9	9
3	0	0	6	6	9	9	11	11	11
4	0	0	6	6	9	9	11	11	12

因此，最大价值为12。

完全背包问题

在完全背包问题中，每个物品可以选取多次，即重复放置。完全背包问题也可以使用动态规划来解决。

以下是完全背包问题的解题步骤：

1. 定义状态：设dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中所能获得的最大价值。
2. 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i]]+w[i])
3. 定义初始状态：dp[0][0...C] = 0
4. 最优解：dp[n][C]

其中，v[i]为第i个物品的重量，w[i]为第i个物品的价值，C为背包的容量。

示例2：假设有4个物品，其重量及价值如下表所示，背包容量为8。则使用动态规划求解完全背包问题的最大价值为22。

物品编号	重量	价值
1	2	6
2	2	3
3	3	5
4	4	4

根据以上步骤，可以求解动态规划的状态转移方程，得到dp数组如下：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	6	6	12	12	18	18	24
2	0	0	6	6	12	12	18	18	24
3	0	0	6	6	12	12	18	21	24
4	0	0	6	6	12	12	18	21	22

因此，最大价值为22。

这就是关于C语言动态规划之背包问题的完整攻略，希望这篇文章能够对您有帮助。