复分析 部分题型整理

哈哈我学不完啦

Ch1 复数与复变函数

1.1 复数的定义及其运算

证明复数不等式

合理利用三角不等式（命题1.1.4，p3）

1.2 复数的几何表示

求几何图形对应的复数方程

• 习题1.2.14
  
  

用复数证明几何定理

(感觉不是很重要，就不上图了)

• 例1.2.1
• 例1.2.2

1.3 扩充平面和复数的球面表示

用球面表示求距离/证明性质

貌似都是爆算……

Ch2 全纯函数

2.1 复变函数的导数

2.2 C-R 方程

研究函数可微性

法1：用定义

• 习题2.1.1

法2：用实可微 + C-R方程（\(\Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0\)）

• 例2.2.5
  
• 例2.2.6
  研究函数\(f(z)=e^{-|z|^2}\)
  

证明是/不是调和函数

法1：用定义
法2：用 \(u\in C^2(D),\Delta u=4\frac{\partial ^2 u}{\partial z \partial \overline z}\)

2.4 初等全纯函数

单值解析分支存在性

定理：
（PPT 4,5 - P6）
定理：如果D是不包含原点和无穷远点的单连通域，那么Logz在D上有单值全纯分支。（PPT 4,5 - P9，书本 P54）

根号多值函数的单值解析分支问题

定理：

单值解析分支求值

法1：已知一个值，利用简单路径辐角求其他值

• 
  
• 

法2：直接计算

• 

共形映射区域变换

• 例2.4.5
  
• 例2.4.6
  

2.5 分式线性变换

区域变换

法1：利用边界

• 例2.5.11
  
  
• 习题2.5.3
  
  充分性：利用该映射把实轴映为实轴，找 \(z_1,z_2,z_3\rightarrow w_1,w_2,w_3\) 直接算出分式线性变换，再利用唯一性。

法2：利用对称点

• 例2.5.15
  
• 例2.5.16
  
  
• 例2.5.17
  
  

法3：找对应点，待定系数

• 习题2.5.20
  
  

法4：结合共形映射和分式线性变换（不知道怎么归类捏）

• 习题2.5.17
  
  
• 习题2.5.18
  
  

Ch4 全纯函数的 Taylor 展开及其应用

4.4 辐角原理和 Rouche 定理

求零点个数

利用 Rouche 定理

注意选取函数 \(f(x),g(x)\)，记得做必要的放缩。

• 例4.4.12
• 例4.4.13

利用辐角原理

先取简单闭曲线，证明简单闭曲线上没有零点，再计算围绕简单闭曲线走一圈的辐角变化，用辐角原理解零点个数。

• 例4.4.14

原文链接：https://www.cnblogs.com/SELFLOVER/p/17324058.html