matlab求多变量函数的偏导的图文教程

下面是关于“matlab求多变量函数的偏导的图文教程”的完整攻略：

一、什么是偏导数

在多变量函数中，对于一个变量，其他变量都保持不变，此时对该变量求导数，就得到了该变量的偏导数。

例如：如果 $z=f(x,y)$ 是一个二元函数，我们求 $z$ 关于 $x$ 的偏导数时，应该将 $y$ 视为常数，即：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$

同理，可以求出 $z$ 关于 $y$ 的偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$

二、Matlab 如何求多变量函数的偏导数

在 Matlab 中，我们可以使用 diff() 函数来计算函数的一阶偏导数或多阶偏导数。

例如：如果有一个函数 $f(x,y)=3x^2+4xy$，我们可以使用 diff() 函数求出其关于 $x$ 的偏导数和关于 $y$ 的偏导数的值。

代码示例如下：

syms x y;
f = 3*x^2 + 4*x*y; % 定义函数
diff(f,x) % 求关于 x 的偏导数
diff(f,y) % 求关于 y 的偏导数

提示：syms 用于声明符号变量。

上述代码运行后，输出结果如下：

ans =
6*x + 4*y

ans =
4*x

这就是函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导数。

三、Matlab 求多变量函数的偏导数的示例

示例一

对于函数 $f(x,y)=\cos(xy)$，我们分别求其关于 $x$ 和 $y$ 的一阶和二阶偏导数。

代码示例如下：

syms x y;
f = cos(x*y); % 定义函数
dfdx1 = diff(f,x) % 求关于 x 的一阶偏导数
dfdy1 = diff(f,y) % 求关于 y 的一阶偏导数
dfdx2 = diff(f,x,2) % 求关于 x 的二阶偏导数
dfdy2 = diff(f,y,2) % 求关于 y 的二阶偏导数
dfdxy = diff(diff(f,x),y) % 求关于 x 和 y 的混合二阶偏导数

上述代码运行后，输出结果如下：

dfdx1 =
-y*sin(x*y)

dfdy1 =
-x*sin(x*y)

dfdx2 =
-y^2*cos(x*y)

dfdy2 =
-x^2*cos(x*y)

dfdxy =
-(x^2+y^2)*sin(x*y)

示例二

对于函数 $f(x,y)=x^4+3x^2y^2+y^4$，我们计算其在点 $(1,2)$ 处的梯度向量。

代码示例如下：

syms x y;
f = x^4 + 3*x^2*y^2 + y^4; % 定义函数
gradient(f) % 求梯度向量

上述代码运行后，输出结果如下：

ans =
4*x^3 + 6*x*y^2
6*x^2*y + 4*y^3

因此，在点 $(1,2)$ 处，函数 $f(x,y)$ 的梯度向量为:

$$\nabla f(1,2)=\begin{bmatrix}4\times 1^3+6\times 1\times 2^2\6\times 1^2\times 2+4\times 2^3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}28\52\end{bmatrix}$$

四、总结

通过上述介绍，我们可以知道在 Matlab 中求多变量函数的偏导数的方法，可以使用 diff() 函数来计算一阶或多阶偏导数，还有示例说明如何使用该函数进行计算。