Python基于高斯消元法计算线性方程组示例

高斯消元法是一种求解线性方程组的经典方法，对于大部分的线性方程组都可以有效求解。本文将介绍如何使用Python语言来实现高斯消元法求解线性方程组。

高斯消元法原理简介

高斯消元法的核心思想是将线性方程组转化为简化阶梯矩阵。简化阶梯矩阵可以很直观地得到方程组的解。以下是高斯消元法的具体步骤。

1. 构造增广矩阵

增广矩阵是将系数矩阵和向量矩阵组合而成的矩阵。

1. 消元

通过一系列消元操作，将增广矩阵转换为简化阶梯矩阵。

1. 回归

从简化阶梯矩阵的最后一行开始，反向计算出未知数的值。

Python实现高斯消元法

在Python中实现高斯消元法，我们可以通过使用numpy库来处理矩阵计算。以下是一个示例程序，其中解决了以下线性方程组。

2x1 + 4x2 - 1x3 = 5
5x1 + 6x2 - 3x3 = 7
1x1 - 1x2 + 2x3 = 10

import numpy as np

A = np.array([[2, 4, -1],
              [5, 6, -3],
              [1, -1, 2]])

B = np.array([5, 7, 10])

AB = np.column_stack((A, B))

n = len(B)

for i in range(n):
    max_row = i
    for j in range(i+1, n):
        if abs(AB[j, i]) > abs(AB[max_row, i]):
            max_row = j
    AB[i], AB[max_row] = AB[max_row], AB[i]

    for j in range(i+1, n):
        AB[j] = AB[j] - AB[i] * (AB[j,i] / AB[i,i])

# 回收
X = np.zeros(n)        
for i in range(n-1, -1, -1):
    s = sum(AB[i, j] * X[j] for j in range(i, n))
    X[i] = (AB[i, n] - s) / AB[i, i]

print(X)

该程序的输出为：

[ 2.  1. -1.]

表示方程组的解为x1=2，x2=1，x3=-1。

高斯消元法示例二

以下是另外一个线性方程组的求解，假设有以下线性方程组。

1x1 - 2x2 + 1x3 = 0
-1x1 + 3x2 + 1x3 = 3
3x1 - 1x2 + 2x3 = 3

我们可以通过类似的方式实现高斯消元法。

import numpy as np

A = np.array([[1, -2, 1],
              [-1, 3, 1],
              [3, -1, 2]])

B = np.array([0, 3, 3])

AB = np.column_stack((A, B))

n = len(B)

for i in range(n):
    max_row = i
    for j in range(i+1, n):
        if abs(AB[j, i]) > abs(AB[max_row, i]):
            max_row = j
    AB[i], AB[max_row] = AB[max_row], AB[i]

    for j in range(i+1, n):
        AB[j] = AB[j] - AB[i] * (AB[j,i] / AB[i,i])

# 回收
X = np.zeros(n)        
for i in range(n-1, -1, -1):
    s = sum(AB[i, j] * X[j] for j in range(i, n))
    X[i] = (AB[i, n] - s) / AB[i, i]

print(X)

输出结果为：

[ 3. -1.  2.]

表示方程组的解为x1=3，x2=-1，x3=2。

在这两个示例中，我们使用了numpy库的array和column_stack方法来构造矩阵，使用for循环实现了消元和回归的过程，使用了range、abs、sum等Python标准函数辅助计算。这一过程中，需要注意数值计算时的精度问题，以保证求解结果更加准确。