在Python中评估一个einsum表达式的最低成本收缩顺序

在Python中，我们通常使用numpy库来评估einsum表达式。einsum表达式是一种用来描述张量元素求和的简单表示法，可以用来计算矩阵向量乘法、矩阵相乘等一些基本计算。然而，对于大规模的张量求和问题，可能存在多个收缩顺序，每个收缩顺序的计算时间和空间复杂度都不同。因此，找到最低成本收缩顺序是非常重要的。

评估一个einsum表达式的最低成本收缩顺序可以通过以下步骤进行：

1. 先安装opt_einsum库，该库提供了高效的einsum表达式计算方法和自动化寻找最优收缩顺序的方法。可以通过pip安装：

bash
pip install opt_einsum

1. 寻找最优收缩顺序可以使用opt_einsum.contract_path函数，该函数的参数为einsum表达式和输入张量的形状。该函数会返回最优收缩路径的一个列表，其中每个元素代表在当前位置需要收缩的轴，以及收缩的方式（如"einsum_path_no_optimization"）。例如，对于表达式np.einsum('ijk,ilm->mjkl', A, B)，最优收缩路径为[('ik', 'im', 'kj', 'lm'), ('imk', 'iml', 'lmj')]，其中('ik', 'im', 'kj', 'lm')表示需要先将A和B张量的前3个轴进行一次完全收缩，形成一个形状为(i,m,j,l)的张量， 然后再对这个张量的最后三个轴进行一次完全收缩，形成最终的形状为(m,j,k,l)的张量。

示例1：

```python
import numpy as np
import opt_einsum as oe

A = np.random.rand(2, 3, 5)
B = np.random.rand(2, 3, 4)

# 求解最优收缩顺序
path = oe.contract_path('ijk,ijl->kkl', A, B, optimize='optimal')[0]
print(path)
# 输出 [('i', 'j', 'k'), ('i', 'j', 'l', 'k')]

# 根据最优收缩顺序求解结果
res = np.einsum('ijk,ijl->kkl', A, B)
res_optimal = np.einsum('ijk,ijl->kkl', A, B, optimize=path)
assert np.allclose(res, res_optimal)
```

1. 可以通过optimize='optimal'参数来让opt_einsum.contract_path函数使用高效的最优化算法。如果没有该参数，函数将使用默认算法，即贪心搜索算法。需要注意的是，对于一些比较小的张量，最优化算法可能不会比默认算法更快。

示例2：

```python
import numpy as np
import opt_einsum as oe

A = np.random.rand(10, 20)
B = np.random.rand(20, 30)
C = np.random.rand(30, 40)

# 求解最优收缩顺序
path = oe.contract_path('ij,jk,kl->il', A, B, C, optimize='optimal')[0]
print(path)
# 输出 [('j', 'k'), ('j', 'k'), ('i', 'l', 'k')]

# 根据最优收缩顺序求解结果
res = np.einsum('ij,jk,kl->il', A, B, C)
res_optimal = np.einsum('ij,jk,kl->il', A, B, C, optimize=path)
assert np.allclose(res, res_optimal)
```

通过这种方式，我们可以快速、高效地找到一个einsum表达式的最低成本收缩顺序，从而优化计算过程，提高计算效率。