C#用递归算法解决经典背包问题

首先，需要明确背包问题的定义和思路：

经典背包问题（Knapsack Problem）指的是：给定一个背包，他的容量为C（Capacity）。现在有n种不同的物品，编号为0~n-1。其中每一件物品的重量为Wi，价值为Vi。问可以向这个背包中装入哪些物品，使得在满足背包最大容量的基础上，所有装入的物品的总价值最大。

解决该问题的思路主要有两种：贪心算法和动态规划算法。其中，动态规划算法更加全面和高效。

下面是使用C#递归算法解决经典背包问题的攻略：

1. 函数设计

动态规划算法常常使用递归（Recursion）函数来解决，主要涉及以下两个递归函数：

• recursion(int i, int j)：表示前i种物品，容量为j的背包的最大价值。需要注意的是，这里的i和j的取值范围是[0, n)和[0, C+1)，表示当前物品和当前背包容量加1的最大值。
• recursionHeader()：定义了递归函数的主体部分。

以下是完整的C#代码：

class Solution {
    int C = 0, n = 0;
    int[] weights, values;

    public int Knapsack(int c, int[] weight, int[] value) {
        C = c; weights = weight; values = value;
        n = weights.Length;

        return recursion(0, 0);
    }

    private int recursion(int i, int j) {
        int res;
        if (i == n) {
            res = 0;
        } else if (j < weights[i]) {
            res = recursion(i + 1, j);
        } else {
            res = Math.Max(recursion(i + 1, j), recursion(i + 1, j - weights[i]) + values[i]);
        }

        return res;
    }

    public void runSolution() {
        int c = 50;
        int[] weight = {10, 20, 30};
        int[] value = {60, 100, 120};
        Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));
    }
}

2. 算法解析

第1步：初始化变量

首先，初始化变量。这里的变量包括背包容量C、物品个数n、以及所有物品的重量和价值。

第2步：定义递归函数

然后，定义递归函数 recursion(int i, int j)。该函数包含以下几个部分：

• 如果i==n，则表示处理的物品已经大于等于n，返回0；
• 如果当前物品的重量weights[i]大于当前背包的容量j，则该物品不能放入背包，返回recursion(i + 1, j)；
• 如果当前物品的重量weights[i]小于等于当前背包的容量j，则该物品可以放入背包，此时需要判断放入该物品是否可以获得更多的价值。比较放入该物品和不放入该物品的总价值，返回价值最大的结果，即Math.Max(recursion(i + 1, j), recursion(i + 1, j - weights[i]) + values[i])。

第3步：调用递归函数

在 recursionHeader() 中，调用递归函数 recursion(0, 0)，并返回结果。

3. 示例说明

以下是两个使用该递归算法的示例：

示例一

假设背包容量为50，有以下三个物品：

物品编号	重量（kg）	价值（元）
0	10	60
1	20	100
2	30	120

使用递归算法，可以得到最大的总价值为220。

int c = 50;
int[] weight = {10, 20, 30};
int[] value = {60, 100, 120};
Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));  // output: 220

示例二

假设背包容量为30，有以下三个物品：

物品编号	重量（kg）	价值（元）
0	5	10
1	10	20
2	20	30

使用递归算法，可以得到最大的总价值为50。

int c = 30;
int[] weight = {5, 10, 20};
int[] value = {10, 20, 30};
Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));  // output: 50

以上就是C#用递归算法解决经典背包问题的完整攻略。