C#用递归算法解决经典背包问题

首先,需要明确背包问题的定义和思路:

经典背包问题(Knapsack Problem)指的是:给定一个背包,他的容量为C(Capacity)。现在有n种不同的物品,编号为0~n-1。其中每一件物品的重量为Wi,价值为Vi。问可以向这个背包中装入哪些物品,使得在满足背包最大容量的基础上,所有装入的物品的总价值最大。

解决该问题的思路主要有两种:贪心算法和动态规划算法。其中,动态规划算法更加全面和高效。

下面是使用C#递归算法解决经典背包问题的攻略:

1. 函数设计

动态规划算法常常使用递归(Recursion)函数来解决,主要涉及以下两个递归函数:

  • recursion(int i, int j):表示前i种物品,容量为j的背包的最大价值。需要注意的是,这里的i和j的取值范围是[0, n)和[0, C+1),表示当前物品和当前背包容量加1的最大值。
  • recursionHeader():定义了递归函数的主体部分。

以下是完整的C#代码:

class Solution {
    int C = 0, n = 0;
    int[] weights, values;

    public int Knapsack(int c, int[] weight, int[] value) {
        C = c; weights = weight; values = value;
        n = weights.Length;

        return recursion(0, 0);
    }

    private int recursion(int i, int j) {
        int res;
        if (i == n) {
            res = 0;
        } else if (j < weights[i]) {
            res = recursion(i + 1, j);
        } else {
            res = Math.Max(recursion(i + 1, j), recursion(i + 1, j - weights[i]) + values[i]);
        }

        return res;
    }

    public void runSolution() {
        int c = 50;
        int[] weight = {10, 20, 30};
        int[] value = {60, 100, 120};
        Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));
    }
}

2. 算法解析

第1步:初始化变量

首先,初始化变量。这里的变量包括背包容量C、物品个数n、以及所有物品的重量和价值。

第2步:定义递归函数

然后,定义递归函数 recursion(int i, int j)。该函数包含以下几个部分:

  • 如果i==n,则表示处理的物品已经大于等于n,返回0;
  • 如果当前物品的重量weights[i]大于当前背包的容量j,则该物品不能放入背包,返回recursion(i + 1, j)
  • 如果当前物品的重量weights[i]小于等于当前背包的容量j,则该物品可以放入背包,此时需要判断放入该物品是否可以获得更多的价值。比较放入该物品和不放入该物品的总价值,返回价值最大的结果,即Math.Max(recursion(i + 1, j), recursion(i + 1, j - weights[i]) + values[i])

第3步:调用递归函数

recursionHeader() 中,调用递归函数 recursion(0, 0),并返回结果。

3. 示例说明

以下是两个使用该递归算法的示例:

示例一

假设背包容量为50,有以下三个物品:

物品编号 重量(kg) 价值(元)
0 10 60
1 20 100
2 30 120

使用递归算法,可以得到最大的总价值为220。

int c = 50;
int[] weight = {10, 20, 30};
int[] value = {60, 100, 120};
Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));  // output: 220

示例二

假设背包容量为30,有以下三个物品:

物品编号 重量(kg) 价值(元)
0 5 10
1 10 20
2 20 30

使用递归算法,可以得到最大的总价值为50。

int c = 30;
int[] weight = {5, 10, 20};
int[] value = {10, 20, 30};
Console.WriteLine(Knapsack(c, weight, value));  // output: 50

以上就是C#用递归算法解决经典背包问题的完整攻略。

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