求1000阶乘的结果末尾有多少个0

求1000阶乘结果末尾有多少个0

问题： 求1000的阶乘结果末尾有多少个0。

解答：

1. 思路

结果末尾的0实际上是由质因数2和5的个数决定的。而1000是正整数中含有5的倍数最多的数，因此1000的阶乘结果中一定含有很多个质因数5。

所以，我们可以先计算1000的阶乘结果中质因数5的个数，然后再计算质因数2的个数。最后，对于5和2的个数取最小值，就是结果末尾的0的个数。

2. 计算5的个数

1000中包含了200个5（1000 / 5 = 200），所以1000的阶乘结果中共含有200个质因数5。但是，1000的阶乘结果中还可能存在更多的5的倍数，如25、125等。因此需要再次计算含有质因数25、125等数字的个数。

• 包含质因数25的数字个数：1000 / 25 = 40
• 包含质因数125的数字个数：1000 / 125 = 8

所以，1000的阶乘结果中一共含有200 + 40 + 8 = 248个质因数5。

3. 计算2的个数

由于每个偶数都含有一个质因数2，因此1000的阶乘结果中一共含有 500 个质因数2。另外，1000的阶乘结果中还存在质因数4、8、16等数字，需要计算含有这些质因数的数字的个数。

• 包含质因数4的数字个数：1000 / 4 = 250
• 包含质因数8的数字个数：1000 / 8 = 125
• 包含质因数16的数字个数：1000 / 16 = 62
• 包含质因数32的数字个数：1000 / 32 = 31
• 包含质因数64的数字个数：1000 / 64 = 15
• 包含质因数128的数字个数：1000 / 128 = 7
• 包含质因数256的数字个数：1000 / 256 = 3
• 包含质因数512的数字个数：1000 / 512 = 1

因此，1000的阶乘结果中共含有 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 994 个质因数2。

4. 结果

取248和994的最小值，即为 248，因此1000的阶乘结果末尾有248个0。

5. 示例说明

示例1

问题： 求10的阶乘结果末尾有多少个0。

解答：

计算5的个数：

• 包含质因数5的数字个数：10 / 5 = 2

计算2的个数：

• 包含质因数2的数字个数：10 / 2 = 5
• 包含质因数4的数字个数：10 / 4 = 2
• 包含质因数8的数字个数：10 / 8 = 1

因此，10的阶乘结果中共包含 2 个质因数5 和 5 + 2 + 1 = 8 个质因数2，所以末尾有2个0。

示例2

问题： 求5的阶乘结果末尾有多少个0。

解答：

计算5的个数：

• 包含质因数5的数字个数：5 / 5 = 1

计算2的个数：

• 包含质因数2的数字个数：5 / 2 = 2

因此，5的阶乘结果中共包含 1 个质因数5 和 2 个质因数2，所以末尾有1个0。