机器学习模型评价指标之ROC 曲线、 ROC 的 AUC 和投资回报率

前文回顾：

1. 基本指标

1.1 True Positive Rate(TPR)

\(TPR = \frac{TP}{TP+FN}\)

中文：真正率、灵敏度、召回率、查全率。显然这个就是查准率。

TPR 表示 “实际为正的样本”中，有多少预测是正确的。

TPR 越高越好，越高意味着模型对“正样本”的误判越少。

1.2 False Negative Rate(FNR)

\(FNR = \frac{FN}{TP+FN}\)

中文：假负率。

1.3 False Positive Rate(FPR)

\(FPR = \frac{FP}{TN+FP}\)

中文：假正率。

FPR 表示 “实际为负的样本”中，有多少预测是错误的。

FPR 越低越好，越低意味着模型对“负样本”的误判越少。

1.4 True Negative Rate(TNR)

\(FPR = \frac{TN}{TN+FP}\)

中文：真负率、特异度。

灵敏度（真正率）TPR 是正样本的召回率，特异度（真负率）TNR是负样本的召回率，而假负率 \(FNR = 1−TPR\)、假正率 \(FPR = 1−TNR\)，上述四个量都是针对单一类别的预测结果而言的，所以对整体样本是否均衡并不敏感。举个例子：

假设总样本中，90% 是正样本，10% 是负样本。在这种情况下我们如果使用 Accuracy 进行评价是不科学的，但是用 TPR 和 TNR 却是可以的，因为 TPR 只关注 90% 正样本中有多少是被预测正确的，而与那 10% 负样本毫无关系，同理，FPR 只关注 10% 负样本中有多少是被预测错误的，也与那 90% 正样本毫无关系。这样就避免了样本不平衡的问题。

2. Receiver Operating Characteristic Curve ( ROC 曲线)

中文：接受者操作特性曲线。

问题：前文的评价体系当中，并没有用上所有的可用信息；P 和 R ，都没有考虑真负（TN）样本的影响。

假设现有模型对“深圳市孕产妇是否参与医疗保健”进行预测，预测的 P 为 98%，R 为100%。请问这个模型效果如何？是否可用？

答：很难说。因为仅通过 P 和 R ，我们不知道假正（FP）和真负（TN）的样本量有多少，以及占比如何。实际上，2020年，深圳市的孕产妇保健覆盖率已经达到了98.44%。模型只要推测所有的孕妇都参加了医疗保健，就可以达到 98% 的 P，与 100% 的 R。但这个预测，对于我们而言，并没有带来任何的增量信息。

解决方案：同时使用真正率（True Positive Rate）和假正率（False Positive Rate）两个指标，那么有什么好处？

可以考虑到整个混淆矩阵的信息。
不会受样本的不平衡程度的影响

条件概率来重写一下 TPR 和 FPR。假设 \(Y\) 为真实情况， \(\hat{Y}\) 为预测情况，则有：

\(TPR=\operatorname{Prob}(\hat{Y}=1 \mid Y=1)\)

\(FPR=\operatorname{Prob}(\hat{Y}=1 \mid Y=0)\)

TPR 和 FPR 的条件概率都是基于真实样本的，而且 TPR 只基于正样本，而 FPR 只基于负样本。这就使得 TPR 和 FPR 不会受样本不平衡(Class Imbalance) 问题(即负样本比正样本多很多（或者相反）)的影响。

\(\text { Precision } = \operatorname{Prob}(Y = 1 \mid \hat{Y} = 1)\)

而 Precision 的条件概率是基于模型的预测结果，而不是基于真实样本。预测结果中\(\hat{Y}=1\) 混杂了正、负两种样本。

什么是 ROC 曲线？

ROC曲线是由 FPR 与 TPR 构成的曲线。该曲线最早应用于雷达信号检测领域，用于区分信号与噪声。后来人们将其用于评价模型的预测能力。与 P-R 曲线类似，通过设定不同的模型参数，模型的预测结果会对应不同 TPR 与 FPR。将不同的（FPR，TPR）构成的点绘制成曲线，就得到了 ROC 曲线。

优点：

不受样本类别不平衡问题的影响
与 P-R 曲线一样，不依赖阈值。如果仅使用ACC、P、R 作为评价指标进行模型对比时，都必须时基于某一个给定阈值的，对于不同的阈值，各模型的指标结果也会有所不同，这样就很难得出一个很置信的结果。

ROC 曲线的横坐标为假正率（FPR），纵坐标为真正率（TPR）。如下图：

怎么生成一个给定模型的 ROC 曲线？

与 P-R 曲线一样，训练好一个模型后，给定不同的阈值生成每个阈值下的假正率（FPR）和真正率（TPR）。如下图：

这里的横坐标是表示不同阈值，纵坐标表示概率，左边的曲线是正负样本的概率密度函数。该图来自自闭症的研究，Controis 表示正常人，Autism 表示自闭症，其实就是正负样本的两个分布（橙色和紫色）。

灵敏度（TPR）和 FPR 都取决于所选的阈值。如果我们降低自闭症的阈值，就会有更多的自闭症患者检测呈阳性，敏感性也会增加。但这也意味着要抓住更多没有自闭症的人，从而增加误报率。

如何根据 ROC 判断不同模型的性能？

TPR 越高越好，FPR 越低越好。进行模型的性能比较时，与 P-R 曲线类似，若一个模型 A 的 ROC 曲线被另一个模型 B 的 ROC 曲线完全包住，则称B的性能优于A。若A和B的曲线发生了交叉，则谁的曲线下的面积大，谁的性能更优。曲线下的面积叫做 AUC。

上图表示，在给定阈值下，不同的模型对于正负样本的分类情况，分类效果越好，那么 TPR 越高， FPR 越低，因此该点越靠近（0，1）坐标。

为什么样本不平衡问题不影响 ROC 曲线？

上文已经解释了样本不平衡问题不影响 TPR 和 FPR，那么也就不会影响 ROC 曲线。

碰撞曲线: 在假设测试中，自闭症患者(紫色)和正常人(橙色)的分数分布重叠。

该文章是说明对人进行分类是否有自闭症。下面就是模型输出的 Test Score，橙色分布是正常人概率密度函数，紫色是自闭症的概率密度函数。二者是有一定重合的。我们给定一个阈值，大于该阈值的是自闭症患者（positive），小于的是正常人(Negative)。

给定了阈值我们就可以得到 TPR 和 FPR。

然而，问题是，TPR 和 FPR 只有在我们一开始就知道谁患有自闭症谁没有的情况下才有意义。例如，TPR 告诉我们，模型在多大程度上识别出我们已知的自闭症患者。

在现实生活中，我们通常事先不知道病人的真实诊断——这就是需要进行检测是否是自闭症的原因。

上面的条表示，总的样本中，模型预测的自闭症占样本总数的百分比。
下面的条表示，模型预测为自闭症的样本中，多少是真的有自闭症（这里是 81%），其实就是 Precision。

上图的意思是，实验时候测试集一半的人实际都是自闭症（1 in 2），那么这时候这些检测为自闭症阳性的人中有 81% 确实有自闭症（TP），19% 的人被误分类为自闭症(FP)。而当测试机变为 68 个人中有一个自闭症时，模型预测为自闭症阳性的人中有 6% 的人确实有自闭症，那么 94% 的人就被误分类为自闭症(FP)。下面的条其实就表示 Precision 由 81% 变成了 6%。

3. ROC 的 AUC

ROC 的 AUC 就是它曲线下面的面积。

AUC的值介于0.5到1.0之间。当AUC等于0.5时（连接对角线，它的面积正好是0.5），整个模型等价于一个随机分类器。AUC的面积越大，模型的整体表现越好。

另一种解读

AUC 对所有可能的分类阈值的效果进行综合衡量。首先AUC值是一个概率值，可以理解为随机挑选一个正样本以及一个负样本，分类器判定正样本分值高于负样本分值的概率就是AUC值。简言之，AUC 值越大，当前的分类算法越有可能将正样本分值高于负样本分值，即能够更好的分类。

图 . 预测按逻辑回归分数以升序排列。

ROC 的 AUC 的优点

AUC是尺度不变的。它衡量的是预测的排名，而不是预测的绝对值。
AUC是分类阈值不变的。它衡量模型预测的质量，而不考虑选择什么分类阈值。

ROC 的 AUC 的局限

然而，这两个原因都有需要注意的地方，这可能会限制AUC在某些用例中的作用:

尺度不变性并不总是我们想要的。例如，有时我们确实需要良好校准（calibrated）概率输出，而 AUC 不会告诉我们这一点。
分类阈值不变性并不总是理想的。在 false negatives vs. false positives 的代价存在很大差异的情况下，最小化一种分类错误可能至关重要。例如，在进行垃圾邮件检测时，你可能希望优先最小化 false positives (即使这会导致 false negatives 的显著增加)。对于这种类型的优化，AUC 不是一个有用的指标。

4. Return on Investment（ROI）

中文：投资回报率

假设现有模型C对某生产线生产的产品是否故障（如果故障则为P）进行预估：
● 在参数组设定为 i 时，模型的TPR为40%，FPR为2%，（0.4,0.2）和（0,1）间的距离为0.36。
● 在参数组设定为 j 时，模型的TPR为50%，FPR为4%，（0.4,0.2）和（0,1）间的距离为0.25。请问哪组参数的表现更好，应该采用哪组参数？
答：很难说。因为我们不知道FN和FP对于我们而言意味着什么。实际上对于该类的产品故障而言，如果漏检（FN），产品上市则某次故障会给公司带来的损失是5000元；而如果对负样本错检（FP），只需要二次重检查，成本是5元。PS：产品的平均故障率大约在百万分之十二左右。

那么如何综合考虑混沌矩阵中4类样本对应的影响，进而对模型的参数进行选择呢？

在此引入 ROI 的概念来解决这个问题。

投资回报率（ROI）是指通过模型应用成本与收益的比值；形式化而言： \(ROI = \frac {Profit} {Cost}\) 。

我们可以通过比较不同参数对应模型的 ROI，来确定最优的参数。以上述的故障率检测为例：