JAVA求两直线交点和三角形内外心的方法

首先我们来介绍如何求两条直线的交点。假设我们有直线L1和直线L2，L1的解析式为y = k1x + b1，L2的解析式为y = k2x + b2。我们可以通过如下公式计算交点的坐标（x,y）：

$x = \frac{b2 - b1}{k1 - k2}$

$y = k1*\frac{b2 - b1}{k1 - k2} + b1$

例如，假设L1的解析式为y = 2x + 1，L2的解析式为y = -3x + 4。按照上述公式求解交点，则有：

$x = \frac{4 - 1}{2 + 3} = \frac{3}{5}$

$y = 2*\frac{3}{5} + 1 = \frac{13}{5}$

因此，交点的坐标为（3/5，13/5）。

接下来，我们来介绍如何求三角形的内心和外心。对于三角形ABC，三条边分别为AB、BC和AC，三个角分别为角A、角B和角C。内心I是三角形内部的一个点，满足它到三边的距离分别相等。外心O是三角形外部的一个点，满足它到三边的距离相等且等于该三角形的外接圆半径。

首先，我们来看如何求内心坐标。设点I的坐标为（x，y）。根据三角形内心的定义，我们可以列出如下方程组：

$IA = IB$

$IB = IC$

$IC = IA$

其中，$IA = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$，$IB = \sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2}$，$IC = \sqrt{(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2}$。将三个方程代入到一起，可得：

$\frac{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2} = \frac{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2}{(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2} = \frac{(x - x_C)^2 + (y - y_B)^2}{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$

化简后，得到：

$x = \frac{a * x_A + b * x_B + c * x_C}{a + b + c}$

$y = \frac{a * y_A + b * y_B + c * y_C}{a + b + c}$

其中，$a = BC$，$b = AC$，$c = AB$。

接下来，我们来看如何求外心坐标。设点O的坐标为（x，y）。根据三角形外心的定义，我们可以列出如下方程组：

$OA = OB = OC$

其中，$OA = OB = OC = R$，$R$为三角形ABC的外接圆半径。将$OA$、$OB$、$OC$分别代入圆的标准方程中，可得到如下三个方程：

$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$

$(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 = R^2$

$(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2$

将上述三个方程代入到一起，得到：

$x = \frac{a * x_A + b * x_B + c * x_C}{2 * S}$

$y = \frac{a * y_A + b * y_B + c * y_C}{2 * S}$

其中，$S$为三角形ABC的面积，$a = BC$，$b = AC$，$c = AB$。

现在来看两个样例：

样例1：求直线y = 2x + 1与y = -3x + 4的交点，以及三角形ABC的内心和外心坐标。

解析1：已经在上面求解过了。

解析2：假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2）、B（4，5）和C（7，2）。根据公式，我们可以计算出三角形ABC的面积为9，AB、BC和AC的长度分别为3√2、√26和3√2。带入公式可以求出内心坐标：

$x = \frac{3 * 1 + \sqrt{26} * 4 + 3 * 7}{3 * \sqrt{2} + \sqrt{26} + 3 * \sqrt{2}} = \frac{7}{2}$

$y = \frac{3 * 2 + \sqrt{26} * 5 + 3 * 2}{3 * \sqrt{2} + \sqrt{26} + 3 * \sqrt{2}} = \frac{31}{8}$

同样地，我们可以带入公式求出外心坐标：

$x = \frac{3 * 1 + \sqrt{26} * 4 + 3 * 7}{2 * 9} = \frac{19}{6}$

$y = \frac{3 * 2 + \sqrt{26} * 5 + 3 * 2}{2 * 9} = \frac{29}{18}$

因此，点I的坐标为（7/2，31/8），点O的坐标为（19/6，29/18）。

样例2：求直线y = x和y = 2x + 1的交点，以及三角形ABC的内心和外心坐标。

解析1：将两条直线的解析式代入到交点公式中，可以求得交点坐标：

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}$

解析2：假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，3）和C（7，1）。计算出三角形ABC的面积为4，AB、BC和AC的长度分别为√10、√26和3。带入公式可以求出内心坐标：

$x = \frac{\sqrt{10} * 1 + \sqrt{26} * 4 + 3}{2 + \sqrt{10} + \sqrt{26}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{10} * 1 + \sqrt{26} * 1 + 3}{2 + \sqrt{10} + \sqrt{26}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

同样地，我们可以带入公式求出外心坐标：

$x = \frac{\sqrt{10} * 1 + \sqrt{26} * 4 + 3}{2 * 4} = \frac{4 + \sqrt{26}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{10} * 1 + \sqrt{26} * 1 + 3}{2 * 4} = \frac{1 + \sqrt{26}}{8}$

因此，点I的坐标为（3+2√2，1+√2）、点O的坐标为（4+√26，1+√26）。