C++数据结构AVL树全面分析

简介

AVL树是一种二叉搜索树，它通过使树保持高度平衡来提高搜索、插入和删除操作的效率。AVL树本质上是通过在插入和删除节点时旋转子树来保持平衡的。AVL树被认为是最早的自平衡二元搜索树。

AVL树的定义

AVL树是一种满足以下特性的BST：

• 每个节点都有一个左子树和一个右子树，并且左子树、右子树也是AVL树。
• 左子树高度和右子树高度之差不超过1。

AVL树的插入

AVL树的插入操作和BST的插入操作类似，但是在插入后需要检查高度平衡并进行必要的旋转操作。以下是AVL树的插入过程：

• 将新节点插入到正确的位置，并在向上跳转时更新父节点高度。
• 检查插入新节点后，从新节点到根节点的每个节点是否平衡。如果某些节点不平衡，则需要进行旋转操作以重新平衡。
• 分四种情况进行旋转，左单旋转、右单旋转、左双旋转和右双旋转。在旋转后，需要更新子树的高度和节点的指针关系。

AVL树的删除

AVL树的删除操作也类似于BST的删除操作，但是与插入操作一样，需要在删除之后检查树的平衡，并进行必要的旋转操作。以下是AVL树的删除过程：

• 如果要删除的节点没有子节点，则直接删除该节点，并更新其父节点的高度。
• 如果要删除的节点只有一个子节点，则将该节点的子节点替换为该节点，并删除该节点，并更新其父节点的高度。
• 如果要删除的节点有两个子节点，则分为两种情况：
• 找到被删除节点右子树中的最小节点，将它的值替换到被删除节点中，并删除该最小节点。
• 找到被删除节点左子树中的最大节点，将它的值替换到被删除节点中，并删除该最大节点。
• 检查删除节点后，从其父节点到根节点的每个节点是否平衡。如果某些节点不平衡，则需要进行旋转操作以重新平衡。
• 分四种情况进行旋转，左单旋转、右单旋转、左双旋转和右双旋转。在旋转后，需要更新子树的高度和节点的指针关系。

AVL树的示例

以下是一个包含四个节点的AVL树的示例：

           15
        /      \
       9        20
     /   \    /    \
    4    12  17    25

在这个AVL树中插入节点13：

           15
        /      \
       9        20
     /   \    /    \
    4    12  17    25
                /
              13

由于插入节点13后，节点20的右子树高度由2变为3，所以需要对节点20进行左单旋转：

           15
        /      \
       9        17
     /   \      /   \
    4    12    13   20
                     \
                     25

再在这个AVL树中删除节点4：

           15
        /      \
       9        17
         \     /   \
         12   13   20
                   \
                   25

由于删除节点4后，节点9的右子树高度由2变为1，所以不需要进行旋转操作。