Java中归并排序和Master公式详解

介绍

归并排序（Merge Sort）是一种常见的排序算法，采用分而治之（Divide and conquer）策略实现，将一个无序的序列分成两个子序列，递归地将子序列排序，最后将排序好的子序列合并得到有序的序列。Master公式是用于分析算法复杂度的公式之一。

归并排序

归并排序的基本思想是将一个序列分成两个子序列，对子序列进行排序，最后将排好序的子序列合并成原序列的有序序列。归并排序的实现主要由两个基本操作：拆分和合并，在Java中可以用递归实现。

代码示例

public class MergeSort {
    public void sort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return;
        }
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);
        merge(arr, left, mid, right);
    }

    private void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
        int[] help = new int[right - left + 1];
        int i = 0;
        int p1 = left;
        int p2 = mid + 1;
        while (p1 <= mid && p2 <= right) {
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= mid) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= right) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[left + i] = help[i];
        }
    }
}

示例说明

假设我们有以下未排序的序列：[3, 2, 1, 6, 5]。将序列分成两个子序列：[3, 2, 1]和[6, 5]。

对子序列进行排序，使用递归方法，将子序列拆分成更小的子序列进行排序，直到子序列的长度小于等于1为止。

先对[3, 2, 1]排序，将其拆分成[3]和[2, 1]，再将[2, 1]拆分成[2]和[1]，对[2]和[1]排序后，合并为排序好的[1, 2]，再将[1, 2]和[3]进行合并，得到[1, 2, 3]。

对另一个子序列[6, 5]也采用此方式进行排序，得到排序好的子序列[5, 6]。

再将排序好的子序列[1, 2, 3]和[5, 6]进行合并，得到有序序列[1, 2, 3, 5, 6]。

Master公式

Master公式是用于分析算法复杂度的公式之一，可以用于递归算法的时间复杂度的计算。Master公式有三种情况，这里仅介绍其中两种：

$$
T(n)=aT(\frac{n}{b})+O(n^{d})\
\text{当} a > 1 \text{时，复杂度为} O(n^{\log_{b}a})\
\text{当} a = 1, d>1 \text{时，复杂度为} O(n^{d})\
$$

其中，$T(n)$表示算法的时间复杂度，$n$表示问题规模的大小，$a$表示递归函数的调用次数，$b$表示递归函数参数的缩小比例，$d$表示递归函数主体部分的复杂度。

示例说明

以归并排序为例，假设序列长度为$n$：

对于归并排序，每次将序列拆分成两个长度为$\frac{n}{2}$的子序列，递归处理两个子序列，最后将有序子序列合并，复杂度为$O(n\log{n})$。

因此，Master公式中：$a=2,b=2,d=1$，根据公式可得：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)$，复杂度为$O(n\log{n})$。

总结

归并排序是一种常见的排序算法，可以用递归实现。Master公式是用于分析算法复杂度的公式之一，可以用于递归算法的时间复杂度的计算。了解归并排序和Master公式的原理和使用方法，可以帮助程序员更好地分析和设计算法。