Java矩阵连乘问题(动态规划)算法实例分析

下面是详细讲解“Java矩阵连乘问题(动态规划)算法实例分析”的完整攻略。

标题

Java矩阵连乘问题(动态规划)算法实例分析

总述

在计算机科学中，矩阵乘法是一个常见的计算问题。 当需要计算大型矩阵的乘积时，可以使用分治法，但这不是一个好的选择，因为分治法带来的额外开销很多。 在这种情况下，动态规划是解决矩阵连乘问题的最好选择。

步骤

下面是Java实现矩阵连乘问题的动态规划算法的步骤:

1. 定义一个二维数组m[][]，其中m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小乘积。
2. 定义一个另外的二维数组s[][]，其中s[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小乘积对应的断点。
3. 然后从矩阵连乘的最小子问题开始，即当i = j 时，m[i][j] = 0。从i = j + 1开始，递增j。对于每个矩阵连乘的长度l，从第i个矩阵开始，递增k，直到第j - 1个矩阵。对于每个可能的断点k，从m[i][j]中选最小的一个值，并记录新的断点k到s[i][j]中。
4. 最后返回构建的m[][]和s[][]数组中的值。

Java代码

public class MatrixChain {
    public static void main(String[] args) {
        int[] p = {10, 100, 5, 50};
        matrixChainOrder(p);
    }
    public static void matrixChainOrder(int[] p) {
        int n = p.length - 1;
        int[][] m = new int[n][n];
        int[][] s = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            m[i][i] = 0;
        }

        for (int l = 2; l <= n; l++) {
            for (int i = 0; i < n - l + 1; i++) {
                int j = i + l - 1;
                m[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i; k < j; k++) {
                    int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];
                    if (q < m[i][j]) {
                        m[i][j] = q;
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }
        printOptimalParens(s, 0, n-1);
    }

    public static void printOptimalParens(int[][] s, int i, int j) {
        if (i == j) {
            System.out.print("A" + i);
        } else {
            System.out.print("(");
            printOptimalParens(s, i, s[i][j]);
            printOptimalParens(s, s[i][j] + 1, j);
            System.out.print(")");
        }
    }
}

示例

下面是一个使用以上代码的示例：

假设我们有四个矩阵：

• A1: 10 × 100
• A2: 100 × 5
• A3: 5 × 50
• A4: 50 × 1

利用上述代码，我们可以通过输入以下命令，在控制台中输出最小的矩阵乘积和两个矩阵相乘的断点。

int[] p = {10, 100, 5, 50, 1};
matrixChainOrder(p);

输出结果为：

((A1(A2A3))A4)

这将告诉我们，我们需要先将A2和A3相乘，然后将A1和乘积相乘，最后再将结果与A4相乘，才能得到矩阵的最小乘积。

小结

在本文中我们详细介绍了Java矩阵连乘问题(动态规划)算法实例分析，包括算法的步骤、代码和实际示例。这是一个典型的使用动态规划求解最优解的例子，可以借此了解和学习动态规划算法的基本思想和应用。