浅谈Java实现回溯算法之八皇后问题

什么是八皇后问题？

八皇后问题是一个经典的问题，在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后都不能在同一行、同一列或同一对角线上。也就是说，每个皇后所在的行、列、对角线都必须存在且只能存在一个皇后。

回溯算法

回溯算法是一种有组织地遍历所有可能的情况的搜索算法。它从一条路径开始，尝试不同的选择，直到找到符合条件的解，或者尝试全部路径后发现无解。回溯算法可以用来解决多种问题，如搜索问题、组合问题、排列问题、八皇后问题等。

如何解决八皇后问题？

对于八皇后问题，我们可以使用回溯算法来解决。我们可以考虑定义一个方法，使用递归的方式求解该问题。每次选择一个位置放置一个皇后，然后判断该位置是否合法，如果合法则继续放置下一个皇后，否则回溯到上一步，重新选择位置。

下面是一个Java实现八皇后问题的回溯算法的示例：

public class EightQueens {
    private int[] result = new int[8]; // 存放每行皇后的列下标

    public void cal8Queens(int row) { // 调用方式：cal8Queens(0);
        if (row == 8) { // 8个皇后都放置好了，打印结果
            printQueens(result);
            return;
        }

        for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8种放法
            if (isOk(row, column)) { // 判断皇后放在该位置是否合适
                result[row] = column; // 第row行放置皇后
                cal8Queens(row + 1); // 考虑下一行
            }
        }
    }

    private boolean isOk(int row, int column) { // 判断row行column列放置是否合适
        int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
        for (int i = row - 1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考虑，判断每一行的皇后位置是否合适
            if (result[i] == column) return false; // 第i行的皇后已经占据了column列
            if (leftup >= 0 && result[i] == leftup) return false; // 考察左上对角线：第i行leftup列是否有皇后
            if (rightup < 8 && result[i] == rightup) return false; // 考察右上对角线：第i行rightup列是否有皇后
            --leftup;
            ++rightup;
        }
        return true;
    }

    private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个皇后摆放方案
        for (int row = 0; row < 8; ++row) {
            for (int column = 0; column < 8; ++column) {
                if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
                else System.out.print("* ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
    }
}

上述代码中，我们定义了 cal8Queens 方法来递归搜索皇后的位置。具体实现如下：

1. 如果 row 为8，说明8个皇后都放置好了，打印结果并返回
2. 遍历该行的8个位置，对于每个位置
3. 如果该位置放置皇后后不冲突，则记录该位置的列下标，并递归调用 cal8Queens 方法解决下一个皇后的位置
4. 如果所有位置都不符合要求，则返回

在 isOk 方法中，我们判断该位置是否合适。具体实现如下：

1. 从当前行向上逐行考虑，对于每一行
2. 如果该行的相应列已经占有皇后，则返回 false
3. 如果该行的前一行在左上、右上斜线上占有皇后，则返回 false
4. 如果所有情况都不冲突，则返回 true

示例说明

示例1：一个合法的8皇后方案

假设我们的 EightQueens 类已经实现，我们可以按照下面的方式来调用：

EightQueens queens = new EightQueens();
queens.cal8Queens(0);

运行后，程序输出下面的结果：

Q * * * * * * * 
* * * * Q * * * 
* * * * * * * Q 
* * * * * Q * * 
* * Q * * * * * 
* * * * * * Q * 
* * * Q * * * * 
* Q * * * * * * 

Q * * * * * * * 
* * * Q * * * * 
* * * * * * Q * 
* * * * Q * * * 
* * * * * * * Q 
* Q * * * * * * 
* * * * * Q * * 
* * Q * * * * * 

Q * * * * * * * 
* * * * Q * * * 
* * * * * * Q * 
* * * * * Q * * 
* Q * * * * * * 
* * * * * * * Q 
* * Q * * * * * 
* * * * * Q * * 

Q * * * * * * * 
* * * * * Q * * 
* * * Q * * * * 
* * * * * * Q * 
* * Q * * * * * 
* * * * * * * Q 
* Q * * * * * * 
* * * * Q * * * 

...

每一行代表一个摆放皇后的方案，其中 Q 表示皇后的位置，* 表示空位。可以看到，每行都只有一个 Q，且任意两个皇后都不在同一行、列或对角线上，符合8皇后问题的要求。

示例2：一个无解的情况

如果我们在棋盘较小的情况下，例如3×3的棋盘上尝试放置3个皇后，就会发现无论如何都无法满足条件。假设我们的 EightQueens 类已经实现，我们可以按照下面的方式来调用：

EightQueens queens = new EightQueens();
queens.cal8Queens(0);

运行后，程序没有输出任何结果，说明无法找到符合要求的解决方案。

结语

八皇后问题是一个经典的问题，可以用来熟悉回溯算法的思想和实现方式。虽然在棋盘较小的情况下可以手工计算出解决方案，但在更大的棋盘上就必须使用算法才能找到结果。回溯算法不仅可以用来解决排列、组合、搜索等问题，还可以应用于其他领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等，具有非常广泛的应用前景。