Python 实现顺序高斯消元法示例

什么是顺序高斯消元法（Gaussian elimination）？

顺序高斯消元法是一种线性代数中的解方程组的基本方法，即利用矩阵变换将系数矩阵变成一个三角矩阵从而解方程组的方法。该方法基于矩阵变换的原理，比直接利用公式求解方程组更加简便高效。

代码实现

Python 实现顺序高斯消元法的代码如下：

def gaussianElimination(mat, b):
    n = len(b)
    for i in range(n):
        max = abs(mat[i][i])
        max_row = i
        for j in range(i+1, n):
            if abs(mat[j][i]) > max:
                max = abs(mat[j][i])
                max_row = j
        mat[i], mat[max_row] = mat[max_row], mat[i]
        b[i], b[max_row] = b[max_row], b[i]
        for j in range(i+1, n):
            r = mat[j][i]/mat[i][i]
            mat[j][i] = 0
            for k in range(i+1, n):
                mat[j][k] -= r*mat[i][k]
            b[j] -= r*b[i]
    x = [0]*n
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = b[i]/mat[i][i]
        for j in range(i-1, -1, -1):
            b[j] -= mat[j][i]*x[i]
    return x

以上代码实现了顺序高斯消元法，其中 mat 是系数矩阵，b 是方程组的右侧矩阵。

示例说明1

假设现在要求解如下的三元一次方程组：$$\begin{cases}2x-y+z=1\-3x+4y+z=8\x-2y+3z=-2\end{cases}$$

我们可以将系数矩阵与右侧矩阵分别表示出来，然后利用 gaussianElimination 函数求解：

mat = [[2,-1,1],[-3,4,1],[1,-2,3]]
b = [1,8,-2]
x = gaussianElimination(mat, b)
print(x)

输出结果为 [2.0, 1.0, -1.0]，即 $x=2$，$y=1$，$z=-1$ 是方程组的解。

示例说明2

现在我们要求解如下的四元一次方程组：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=10\2x_1+3x_2+7x_3+2x_4=31\-3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-2\x_1-x_2+2x_3+4x_4=-4\end{cases}$$

同样利用 gaussianElimination 函数求解：

mat = [[1,1,1,1],[2,3,7,2],[-3,1,2,5],[1,-1,2,4]]
b = [10,31,-2,-4]
x = gaussianElimination(mat, b)
print(x)

输出结果为 [1.0, 2.0, -1.0, 8.0]，即 $x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=-1$，$x_4=8$ 是方程组的解。

总结

通过以上示例，我们可以看到 Python 实现顺序高斯消元法比手工计算更加简单高效。在实际工作中，可以通过该方法对需要计算的各种方程组进行求解，非常实用。