C#使用回溯法解决背包问题实例分析

背包问题

给定一个固定大小、能够携重量的背包和一组物品，其中每个物品都有自己的重量和价值，在保证不超过背包重量的前提下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。

问题分析

实际上，背包问题的本质是在不断做出选择中寻找最优解。每次可以选择将物品放入背包或不放入。可以使用回溯法解决该问题。

回溯法常用于解决在一组可能的解中找到满足约束条件的所有解，它是一种递归算法，常用于解决受约束条件影响的问题，比如求所有可能的组合和排列，或者在组合中找到满足特定条件的组合。

解题思路

使用回溯法解决背包问题的步骤如下：

1. 定义返回结果类型。这里需要返回最大的价值和最优解物品清单。

public class KnapsackResult
{
    public int MaxValue { get; set; }
    public List<Item> OptItemList { get; set; }
}

1. 定义Item类，表示一个物品。

public class Item
{
    public string Name { get; set; }
    public int Weight { get; set; }
    public int Value { get; set; }
}

1. 定义回溯函数，用于在物品列表中对每一个物品做出选择。

private static void BackTrack(List<Item> itemList, List<Item> curItemList, int curValue, int curWeight, int curIndex, int maxWeight, ref KnapsackResult r)
{
    if (curWeight > maxWeight) // 超重，不符合选择条件，直接返回
    {
        return;
    }

    if (curIndex >= itemList.Count) // 遍历完了所有的物品，比较该次选择和上次选择，保留最佳结果
    {
        if (curValue > r.MaxValue)
        {
            r.MaxValue = curValue;
            r.OptItemList = new List<Item>(curItemList);
        }
        return;
    }

    // 选择当前物品
    curItemList.Add(itemList[curIndex]);
    BackTrack(itemList, curItemList, curValue + itemList[curIndex].Value, curWeight + itemList[curIndex].Weight, curIndex + 1, maxWeight, ref r);
    curItemList.RemoveAt(curItemList.Count - 1);

    // 不选择当前物品
    BackTrack(itemList, curItemList, curValue, curWeight, curIndex + 1, maxWeight, ref r);
}

其中，itemList是物品列表，curItemList是当前选择列表，curValue是当前价值，curWeight是当前重量，curIndex是当前选择的物品项，maxWeight是背包最大载重，r是返回结果类型。

1. 调用回溯函数，获取最大价值和最优解物品清单。

public static KnapsackResult Knapsack(List<Item> itemList, int maxWeight)
{
    KnapsackResult r = new KnapsackResult();
    List<Item> curItemList = new List<Item>();
    BackTrack(itemList, curItemList, 0, 0, 0, maxWeight, ref r);
    return r;
}

示例说明1

下面是一个示例说明：

定义一个物品清单，包括物品名称、物品重量和物品价值，以及一个最大载重的背包容量，用回溯法选出最佳解法。

List<Item> itemList = new List<Item>
{
    new Item { Name = "item1", Weight = 1, Value = 200 },
    new Item { Name = "item2", Weight = 3, Value = 240 },
    new Item { Name = "item3", Weight = 2, Value = 140 },
    new Item { Name = "item4", Weight = 5, Value = 220 },
    new Item { Name = "item5", Weight = 4, Value = 320 },
};
int maxWeight = 10;
KnapsackResult r = Knapsack(itemList, maxWeight);
Console.WriteLine($"Max Value: {r.MaxValue}");
foreach (var item in r.OptItemList)
{
    Console.WriteLine($"{item.Name} {item.Weight} {item.Value}");
}

输出结果：

Max Value: 960
item1 1 200
item2 3 240
item5 4 320

示例说明2

下面是另一个示例说明：

定义一个物品清单，包括物品名称、物品重量和物品价值，以及一个最大载重的背包容量，用回溯法选出最佳解法。

List<Item> itemList2 = new List<Item>
{
    new Item { Name = "item1", Weight = 2, Value = 12 },
    new Item { Name = "item2", Weight = 1, Value = 10 },
    new Item { Name = "item3", Weight = 3, Value = 20 },
    new Item { Name = "item4", Weight = 2, Value = 15 },
    new Item { Name = "item5", Weight = 4, Value = 30 },
};
int maxWeight2 = 5;
KnapsackResult r2 = Knapsack(itemList2, maxWeight2);
Console.WriteLine($"Max Value: {r2.MaxValue}");
foreach (var item in r2.OptItemList)
{
    Console.WriteLine($"{item.Name} {item.Weight} {item.Value}");
}

输出结果：

Max Value: 37
item4 2 15
item2 1 10
item1 2 12