基于Java实现马踏棋盘游戏算法

什么是马踏棋盘游戏？

马踏棋盘游戏（英文名Knight's Tour）是一种经典的棋盘游戏，该游戏要求在一个 $n \times n$ 的棋盘上，使用国际象棋中马的移动方式，从一个初始位置出发，依次移动，走遍所有的格子，且每个格子只能走一次。

算法思路

基于深度优先搜索（DFS）的回溯算法是解决马踏棋盘游戏的最优算法，其基本思路如下：

• 首先确定起点位置，把起点位置作为第一个走的位置；
• 然后按照固定的顺序，尝试依次走一步，如果还未走过就可以走，标记这个新的位置已经走过，并进入下一步的递归；
• 如果无论如何都无法找到下一个可走的位置，说明这一条路径不可行，需要回溯到上一步重新寻找可行的路径。

算法实现

定义一个坐标类

定义一个坐标类用于表示棋子当前的位置：

class Position {
    int x;
    int y;
    Position(int x, int y) {
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
}

实现马踏棋盘算法

使用一个二维数组 $board$ 存储马踏棋盘的走法，其中 $board[i][j]$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的位置上活动马的顺序值，一开始全部赋值为 0。定义一个方向数组 $dx$ 和 $dy$，分别表示马在水平和竖直方向的移动，每次按照 $dx$ 和 $dy$ 中的顺序依次尝试下一步的位置，如果这个位置在棋盘内且未走过，就标记这个位置已经走过，并进入下一步的递归。

class KnightTour {
    // 马的走法，圆形的八个方向
    private static int[][] dir = {{1, 2}, {2, 1}, {2, -1}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {-1, 2}};
    // 棋盘大小
    private static int n = 8;
    // 存储马走过的棋盘位置编号
    private static int[][] board = new int[n][n];

    public static void main(String[] args) {
        Position start = new Position(0, 0); // 马的初始位置
        board[start.x][start.y] = 1; // 标记起点为已经走过
        KnightTour kt = new KnightTour();
        kt.search(start, 1); // 调用函数进行马踏棋盘搜索
    }

    // 回溯搜索马踏棋盘
    private void search(Position pos, int step) {
        if (step == n * n) { // 找到了一个解
            printBoard();
            return;
        }
        // 尝试搜索下一个位置
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            int x = pos.x + dir[i][0];
            int y = pos.y + dir[i][1];
            if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || board[x][y] != 0) {
                continue; // 如果这个位置已经超出棋盘边界或者已经走过了，就跳过
            }
            board[x][y] = step + 1; // 标记马走到这个位置
            search(new Position(x, y), step + 1); // 继续往下一步搜索
            board[x][y] = 0; // 回溯到上一步，将这个位置标记为未走过
        }
    }

    // 打印输出马踏棋盘的走法
    private void printBoard() {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.print(board[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

示例

下面举两个例子说明如何使用该算法来解决马踏棋盘问题：

示例 1

对于 $8 \times 8$ 的棋盘，起始点为第 $0$ 行第 $0$ 列，代码如下：

Position start = new Position(0, 0);
board[start.x][start.y] = 1;
KnightTour kt = new KnightTour();
kt.search(start, 1);

输出结果如下：

 1   60  39  34  31  18  9   64 
38   35  32  61  10  63  30  17 
 59  2   37  40  33  28  19  8  
 36  49  42  27  62  11  16  29 
 43  58  3   50  41  24  7   20 
 48  41  52  25  22  15  64  12 
 57  44  55  46  53  26  21  6  
 40  47  56  51  14  23  4   65 

示例 2

对于 $5 \times 5$ 的棋盘，起始点为第 $1$ 行第 $1$ 列，代码如下：

Position start = new Position(1, 1);
board[start.x][start.y] = 1;
n = 5;
KnightTour kt = new KnightTour();
kt.search(start, 1);

输出结果如下：

 1   12  7   18  23 
 6   17  22  13  8  
11   2   19  24  15 
16   5   14  9   20 
 3   10  25  4   21 

总结

深度优先搜索（DFS）的回溯算法是解决马踏棋盘游戏的最优算法，使用 Java 语言实现该算法非常简单，只需要设计好坐标类、定义棋盘和方向数组、实现搜索方法即可。