排列和组合算法的实现方法_C语言经典案例

为了实现排列和组合算法，我们可以采用循环、递归等多种方法。以下是实现排列和组合算法的一些关键步骤：

一、排列算法的实现

1. 确定排列的长度

在排列算法中，必须明确排列的长度，以便确定需要输出的排列数。假设排列长度为n，则排列的个数为n!，即n的阶乘。

2. 确定排列元素集合

在排列算法中，必须为元素集合确定正确的元素个数和元素取值范围，需要保证不重不漏地包含所有可能的元素。如果元素集合为{1,2,3,4,5}，则元素个数为5。

3. 利用循环进行全排列

循环是实现排列算法最常用的方法。假设排列的长度为n，则循环的嵌套层数为n，每一层对应排列中的一个位置。在第i层循环中，通过枚举元素集合中所有可能的元素，来填充排列中第i个位置，从而生成全排列。

示例代码：

int a[10], book[10], n;

void dfs(int step)
{
    int i;
    if (step == n + 1)
    {
        // 输出排列
        for (i = 1; i <= n; i++)
            printf("%d ", a[i]);
        printf("\n");
        return;
    }
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (book[i] == 0)
        {
            a[step] = i;
            book[i] = 1;
            dfs(step + 1);
            book[i] = 0;
        }
    }
    return;
}

示例说明：

本示例中，我们首先定义了三个全局数组a、book、n，分别用来存储排列、标记某个元素是否被使用过、确定排列长度。

其中的dfs()函数是使用深度优先搜索(dfs)的方式来实现排列算法的，step变量表示当前填充的位置，如果step等于n+1，则表示已经填充完毕，输出排列即可。

在dfs()函数中，我们首先对book数组标记当前元素i已经被使用，然后将i填充到a数组的第step个位置，继续递归调用dfs()函数来填充下一个位置，再将当前元素的使用状态置为未使用，返回前一步。

4. 利用递归进行全排列

另一种实现排列算法的方法是利用递归，将全排列问题分解为若干子问题，在每次递归调用中，将问题的规模不断缩小，最终得到排列。

示例代码：

void perm(int list[], int k, int m)
{
    if (k == m) 
    {
        // 输出排列
        for (int i = 0; i <= m; i++) 
            printf("%d ", list[i]);
        printf("\n");
    }
    else 
    {
        for (int i = k; i <= m; i++) 
        {
            swap(&list[k], &list[i]);
            perm(list, k+1, m);
            swap(&list[k], &list[i]);
        }
    }
}

void swap(int *a, int *b) 
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

示例说明：

本示例中，定义了perm()和swap()两个函数，perm()函数使用递归的方式来实现排列算法，依次对集合中每个元素进行处理。

在perm()函数的第二个参数k表示当前正在处理的位置，第三个参数m表示自问题最后一个数的位置。如果k等于m，则表示已经得到一个排列，输出即可。

在perm()函数中，我们依次将每个元素和第一个元素交换位置，并将问题规模缩小，即k和m分别向前移动一位，继续进行递归，直到得到全排列。

二、组合算法的实现

1. 确定组合的长度

在组合算法中，必须明确组合的长度，即从元素集合中选取的元素个数。假设组合长度为m，则从n个元素中选取的组合数为C(n,m)。

2. 确定组合元素集合

在组合算法中，必须为元素集合确定正确的元素个数和元素取值范围，需要保证不重不漏地包含所有可能的元素。

3. 利用循环进行组合

利用循环实现组合算法的方法与排列算法类似，只不过循环层数为组合长度m，每次选取一个元素，将其加入组合中，再继续选取下一个元素，直到组合长度为m。

示例代码：

int c[10];

void dfs(int start, int step)
{
    int i;
    if (step == m + 1)
    {
        // 输出组合
        for (i = 1; i <= m; i++)
            printf("%d ", c[i]);
        printf("\n");
        return;
    }
    for (i = start; i <= n; i++)
    {
        c[step] = i;
        dfs(i + 1, step + 1);
    }
    return;
}

示例说明：

本示例中，我们首先定义了一个全局数组c，用来存储组合。然后，使用深度优先搜索的方式来实现组合算法。

在dfs()函数中，start表示可以选择的元素的最小下标，step表示当前选取的元素个数。如果step等于组合长度m，则表示选取完毕，输出当前的组合即可。

在dfs()函数中，我们通过嵌套的循环遍历所有的组合可能，不断向组合中添加元素。需要注意的是，在每次递归调用后，应该将之前添加的元素弹出，以便进行下一次搜索。

4. 利用递归进行组合

与排列算法类似，组合算法也可以利用递归来实现。对于包含n个元素的元素集合，从中选择m个元素进行组合。

示例代码：

void combine(int list[], int n, int m, int result[], int k) 
{
    if (k == m) 
    {
        // 输出组合
        for (int i = 0; i < m; i++) 
            printf("%d ", result[i]);
        printf("\n");
    }
    else 
    {
        for (int i = n; i >= m-k+1; i--) 
        {
            result[k] = list[i-1];
            combine(list, i-1, m, result, k+1);
        }
    }
}

示例说明：

本示例中，定义了combine()函数来实现组合算法，其中list数组存储了元素集合，n表示元素集合的大小，m表示选择m个元素进行组合，result数组存储当前组合，k表示当前已选择的元素个数。

在combine()函数中，我们通过递归调用不断缩小问题规模。如果k等于组合长度m，则表示已经选择完毕，输出当前组合即可。

在combine()函数中，我们从元素集合的最后一个元素开始，分别选择组合中的第k个元素，并将问题规模缩小为从前i-1个元素中选择m-k个元素进行组合。