用纯Python实现循环神经网络RNN向前传播过程(吴恩达DeepLearning.ai作业)

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前言

- 向量表示以及它的维度

- rnn cell

- rnn 向前传播

重点关注:

- 如何把数据向量化的，它们的维度是怎么来的

- 一共其实就是两步: 单个单元的rnn计算，拉通来的rnn计算

在看本文前，可以先看看这篇文章回忆一下:

吴恩达deepLearning.ai循环神经网络RNN学习笔记(理论篇)

我们将实现以下结构的RNN，在这个例子中 Tx = Ty。

用纯Python实现循环神经网络RNN向前传播过程(吴恩达DeepLearning.ai作业)

向量表示以及它的维度

Input with nx number of units

对单个输入样本，x(i) 是一维输入向量。
用语言来举个例子，将具有5k个单词词汇量的语言用one-hot编码成具有5k个单位的向量，所以 x(i) 的维度是(5000,)。
我们将用符号 nx 表示单个训练样本的单位数。

Batches of size $m$

如果我们取小批量(mini-batches)，每个批次有20个训练样本。
为了受益于向量化，我们将20个样本 x(i) 变成一个2维数组(矩阵)。
比如一个维度是(5000，20)的向量。
我们用m来表示训练样本的数量。
所以小批量训练数据的维度是 (nx, m)。

Time steps of size $T_{x}$

循环神经网络有多个时间步骤，我们用t来表示。
我们将看到训练样本 x(i) 将经历多个时间步骤 Tx, 比如如果有10个时间步骤，那么 Tx = 10。

3D Tensor of shape (nx, m, Tx)

输入x就是用维度是 (nx, m, Tx) 的三维张量来表示。

Taking a 2D slice for each time step:

每一个时间步骤，我们用小批量训练样本(不是单个的训练样本)。
所以针对每个时间步骤t，我们用维度是 (nx, m)的2维切片。
我们把它表示成xt。

隐藏状态a的维度

a的定义: 从一个时间步骤到另一个时间步骤的激活值 at, 我们把它叫做隐藏状态。
同输入张量 x 一样，对于单个训练样本的隐藏状态，它的向量长度是na。
如果我们是包含了m个训练样本的小批量数据，那么小批量维度是 (na, m)。
如果我们把时间步加进去，那么隐藏状态的维度就是 (na, m, Tx)。
我们将用索引t来遍历时间步，每次操作是从3维张量切片成的2维向量。
我们用at来表示2维的切片，它的维度是 (na, m)。

预测值y^的维度

同输入x和隐藏状态一样，y^是一个维度是 (ny, m, Ty) 的3维张量。

ny: 代表预测值的单位数。
m: 小批次训练的样本数量。
Ty: 预测的时间数。

比如单个时间步 t，2维的切片 y^ 的维度是 (ny, m)。

RNN cell

我们的第一个任务就是执行单个时间步骤的计算，计算如下图。

用纯Python实现循环神经网络RNN向前传播过程(吴恩达DeepLearning.ai作业)

输入是a^<t-1>, xt，输出是at, yt^。以下的代码其实就是把上面的公式代码化，总的步骤分成4步:

取出参数。
计算at。
计算yt^。
返回输出的at, yt^，还要存储一些值缓存起来。

import numpy as np

def rnn_cell_forward(xt, a_prev, parameters):
    """
    Implements a single forward step of the RNN-cell as described in Figure (2)

    Arguments:
    xt -- your input data at timestep "t", numpy array of shape (n_x, m).
    a_prev -- Hidden state at timestep "t-1", numpy array of shape (n_a, m)
    parameters -- python dictionary containing:
                        Wax -- Weight matrix multiplying the input, numpy array of shape (n_a, n_x)                        Waa -- Weight matrix multiplying the hidden state, numpy array of shape (n_a, n_a)
                        Wya -- Weight matrix relating the hidden-state to the output, numpy array of shape (n_y, n_a)
                        ba --  Bias, numpy array of shape (n_a, 1)
                        by -- Bias relating the hidden-state to the output, numpy array of shape (n_y, 1)
    Returns:
    a_next -- next hidden state, of shape (n_a, m)
    yt_pred -- prediction at timestep "t", numpy array of shape (n_y, m)
    cache -- tuple of values needed for the backward pass, contains (a_next, a_prev, xt, parameters)
    """
    # 取计算的参数
    Wax = parameters["Wax"]
    Waa = parameters["Waa"]
    Wya = parameters["Wya"]
    ba = parameters["ba"]
    by = parameters["by"]

    # 用公式计算下一个单元的激活值
    a_next = np.tanh(np.dot(Waa, a_prev) + np.dot(Wax, xt) + ba)
    # 计算当前cell的输出 
    yt_pred = softmax(np.dot(Wya, a_next) + by)
    
    # 用于向后传播的缓存值 
    cache = (a_next, a_prev, xt, parameters)

    return a_next, yt_pred, cache

RNN向前传播

一个循环神经网络就是不断的重复你上面创建的rnn 单元。

如果你的输入数据序列是10个时间步，那么你就要重复你的rnn cell 10次。

在每个时间步中，每个单元将用2个输入:

a<t-1>: 前一个单元的隐藏状态。
$x^{⟨ t ⟩}$

每个时间步有两个输出:

一个隐藏状态a $a^{⟨ t ⟩}$
一个测值y^ $y^{⟨ t ⟩}$

权重和偏差 $(W_{a a}, b_{a}, W_{a x}, b_{x})$

用纯Python实现循环神经网络RNN向前传播过程(吴恩达DeepLearning.ai作业)

def rnn_forward(x, a0, parameters):
    """
    Implement the forward propagation of the recurrent neural network described in Figure (3).

    Arguments:
    x -- Input data for every time-step, of shape (n_x, m, T_x).
    a0 -- Initial hidden state, of shape (n_a, m)
    parameters -- python dictionary containing:
                        Waa -- Weight matrix multiplying the hidden state, numpy array of shape (n_a, n_a)
                        Wax -- Weight matrix multiplying the input, numpy array of shape (n_a, n_x)
                        Wya -- Weight matrix relating the hidden-state to the output, numpy array of shape (n_y, n_a)
                        ba --  Bias numpy array of shape (n_a, 1)
                        by -- Bias relating the hidden-state to the output, numpy array of shape (n_y, 1)

    Returns:
    a -- Hidden states for every time-step, numpy array of shape (n_a, m, T_x)
    y_pred -- Predictions for every time-step, numpy array of shape (n_y, m, T_x)
    caches -- tuple of values needed for the backward pass, contains (list of caches, x)
    """

    # 用于存储所有cache的列表，初始化它
    caches = []

    # 取一些纬度值，用于后面初始化变量 
    n_x, m, T_x = x.shape
    n_y, n_a = parameters["Wya"].shape


    # 初始化 a 和 y_pred 
    a = np.zeros((n_a, m, T_x))
    y_pred = np.zeros((n_y, m, T_x))

    # 初始化 a_next 
    a_next = a0

    # loop over all time-steps of the input 'x' 
    for t in range(T_x):
        # Update next hidden state, compute the prediction, get the cache 
        xt = x[:,:,t] # 通过切片的方式从输入变量x中取出当前t时间步的输入xt
        a_next, yt_pred, cache = rnn_cell_forward(xt, a_next, parameters)
        # 保存当前单元计算的a_next值

        a[:,:,t] = a_next
        # 保存当前单元的预测值y

        y_pred[:,:,t] = yt_pred
        # 添加每个单元的缓存值
        caches.append(cache)


    # store values needed for backward propagation in cache
    caches = (caches, x)

    return a, y_pred, caches

恭喜你(*^▽^*)，到这里你已经能够从0到1的构建循环神经网络的向前传播过程。

在现代深度学习框架中，您仅需实现前向传递，而框架将处理后向传递，因此大多数深度学习工程师无需理会后向传递的细节。我就不写向后传播了。

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