Java实现的求逆矩阵算法示例

Java实现的求逆矩阵算法示例

什么是逆矩阵

矩阵A的逆矩阵记为A^-1，它是一个与A相乘后得到单位矩阵的矩阵。在一般的情况下，只有方阵才有逆矩阵。

矩阵求逆算法

1. 对于一个n阶方阵A，它的行列式为det(A)。

2. 如果det(A)不等于0，则A可逆，它的逆矩阵B为：

   B = 1/det(A) * adj(A)

   其中，adj(A)是A的伴随矩阵，它是由矩阵A的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。

3. 如果det(A)=0，则A不可逆。

Java代码实现

以下是Java实现求逆矩阵的算法示例代码。

public static double[][] invertMatrix(double[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    double[][] inverse = new double[n][n];
    double[][] copy = new double[n][2 * n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            copy[i][j] = matrix[i][j];
            copy[i][j + n] = (i == j) ? 1.0 : 0.0;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 取对角线位置上最大的元素作为主元
        int pivot = i;
        double pivot_size = Math.abs(copy[i][i]);
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            double tmp = Math.abs(copy[j][i]);
            if (tmp > pivot_size) {
                pivot = j;
                pivot_size = tmp;
            }
        }
        // 如果主元所在列全是0，说明矩阵不可逆
        if (pivot_size == 0.0) {
            return null;
        }
        // 交换行，使主元所在行变为非零行
        if (pivot != i) {
            for (int j = i; j < 2 * n; j++) {
                double tmp = copy[i][j];
                copy[i][j] = copy[pivot][j];
                copy[pivot][j] = tmp;
            }
        }
        // 将主元归一
        double scale = copy[i][i];
        for (int j = i; j < 2 * n; j++) {
            copy[i][j] /= scale;
        }
        // 将主元下方的所有元素变为0
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                double factor = copy[j][i];
                for (int k = i; k < 2 * n; k++) {
                    copy[j][k] -= factor * copy[i][k];
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            inverse[i][j] = copy[i][j + n];
        }
    }
    return inverse;
}

示例说明

示例1

逆矩阵可以用来求解线性方程组的解。

假设有一个线性方程组为：

6x + 1y = 1
2x + 3y = 5

这个方程组可以表示成矩阵向量的形式：

[ 6 1 ]   [ x ]   [ 1 ]
[ 2 3 ] * [ y ] = [ 5 ]

它的系数矩阵为：

[ 6 1 ]
[ 2 3 ]

行列式为63-12=16，因此可逆。

求出矩阵的逆矩阵，得到：

[  0.1875 -0.0625 ]
[ -0.125   0.25   ]

将其与方程组右边的向量相乘，得到解为：

[ x ]   [ 0.5 ]
[ y ] = [ 1.0 ]

因此，方程组的解为x=0.5，y=1.0。

示例2

逆矩阵的另一个用途是在图形学中进行坐标转换。

假设有一个三角形，它的顶点坐标分别为(1,1)，(3,2)和(2,4)。

现在想将三角形沿x轴方向缩小为原来的一半，即每个x坐标除以2。这可以通过对三角形的坐标矩阵左乘一个缩放矩阵来实现。

缩放矩阵为：

[ 0.5 0   ]
[ 0   1   ]

计算得到三角形的坐标矩阵为：

[ 0.5 0.5 ]
[ 1.5 2   ]
[ 1   2   ]

现在想要将这个三角形绘制出来，需要将坐标矩阵中的坐标变换为屏幕坐标。

假设屏幕的左下角为(0,0)，右上角为(640,480)，则需要对坐标进行如下变换：

(0.5,0.5) -> (80,  40)
(1.5,2)   -> (320, 360)
(1,2)     -> (240, 360)

这个变换可以通过对坐标矩阵左乘一个变换矩阵来实现。

变换矩阵为：

[ 640 0   ]
[ 0   480 ]
[ 0   0   ]

计算得到变换后的坐标矩阵为：

[ 320  24 ]
[ 480 312 ]
[ 240 312 ]

现在可以将变换后的坐标绘制出来，得到缩小了一半的三角形。