在Python中使用NumPy对切比雪夫级数进行积分并设置积分顺序

在Python中使用NumPy对切比雪夫级数进行积分并设置积分顺序的步骤如下：

1.导入必要的库

首先需要导入numpy库以及matplotlib用于可视化。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

2.设置切比雪夫级数函数

我们可以使用numpy库内置的 np.vectorize 函数将切比雪夫级数函数向量化，便于后续计算。切比雪夫级数函数的表达式如下：

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin((2n-1)\pi x)}{2n-1} $$

代码实现如下：

def chebyshev(x, n_terms):
    f = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, n_terms+1):
        f += (-1)**(n-1) * np.sin((2*n-1) * np.pi * x) / (2*n-1)
    return f

函数 chebyshev 的输入参数为一个数组 x 以及需要计算的级数项数 n_terms 。其中， np.zeros_like(x) 函数用于生成一个和 x 同样大小的全零数组，用于储存级数函数的值。

3.设置积分顺序

在进行积分计算时，需要设置积分顺序，常用的积分顺序有以下两种：

• Clenshaw–Curtis积分顺序，全区间积分一次
• 高斯-勒让德积分顺序，局部区间多次积分取平均

以下用例分别演示这两种积分顺序在切比雪夫级数函数中的应用。

3.1 Clenshaw–Curtis积分顺序

我们可以使用 numpy.polynomial.chebyshev.chebgauss 函数来计算Clenshaw–Curtis积分顺序下的切比雪夫级数积分。

def chebyshev_integral_cc(n_terms):
    x, w = np.polynomial.chebyshev.chebgauss(n_terms+1)
    f = chebyshev(x, n_terms)
    integral = np.sum(f * w)
    return integral

函数 chebyshev_integral_cc 的输入参数为需要计算的级数项数 n_terms ，输出值为积分结果 integral 。其中， np.polynomial.chebyshev.chebgauss 函数用于计算Clenshaw–Curtis积分顺序下的积分节点 x 和权重 w 。

3.2 高斯-勒让德积分顺序

我们可以使用 numpy.polynomial.legendre.leggauss 函数来计算高斯-勒让德积分顺序下的切比雪夫级数积分。

def chebyshev_integral_gauss(n_terms, n_intervals=1000):
    integral = 0.0
    for i in range(n_intervals):
        a = -1.0 + 2.0 * i / n_intervals
        b = -1.0 + 2.0 * (i+1) / n_intervals
        x, w = np.polynomial.legendre.leggauss(n_terms)
        f = chebyshev((b-a)/2.0 * x + (b+a)/2.0, n_terms)
        integral += np.sum(f * w) * (b-a) / 2.0
    return integral

函数 chebyshev_integral_gauss 的输入参数为需要计算的级数项数 n_terms 以及将积分区间分为多少个小区间 n_intervals ，输出值为积分结果 integral 。该函数的实现过程如下：

• 建立积分区间，将区间分为 n_intervals 份
• 计算每个小区间的积分贡献
  • 计算小区间的左右端点 a 和 b
  • 使用 np.polynomial.legendre.leggauss 函数计算高斯-勒让德积分下的积分节点 x 和权重 w
  • 将积分节点 x 转换至小区间的范围内，并计算积分点处的级数函数值 f
  • 计算该小区间内的积分结果并累加至总积分结果 integral 中

4.可视化结果

我们可以使用 matplotlib 库将积分结果可视化。

n_terms = 100      # 计算的级数项数
x = np.linspace(-1.0, 1.0, 1000)   # x轴范围
integral_cc = chebyshev_integral_cc(n_terms)   # Clenshaw-Curtis积分顺序下的积分结果
integral_gauss = chebyshev_integral_gauss(n_terms)  # 高斯-勒让德积分顺序下的积分结果

# 绘制切比雪夫级数函数
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, chebyshev(x, n_terms))

# 标注积分结果
ax.text(-0.2, 0.8, "CC Integral = {:.4f}".format(integral_cc))
ax.text(-0.2, 0.7, "Gauss Integral = {:.4f}".format(integral_gauss))

其中， x = np.linspace(-1.0, 1.0, 1000) 表示将 x 轴范围设定为 [-1, 1] ，并生成包含 1000 个点的evenly spaced数组。 我们可以使用 plt.subplots() 函数生成一个axes object，然后使用 ax.plot() 函数将切比雪夫级数函数绘制至这个axes object中。

最后，我们使用 ax.text() 函数在图中标注积分结果。